Exemple. — Considérons Téquation x* — 7.x

qui a une racine positive uniqne, et proposons-nous d'évaluer cette racine. On a ici

/(jr) rzz ^— îjr — 5,

on aperçoit de suite quey*(j:) est négative pour x= 2 et qu'elle est positive pour x = 2, i ; d'ailleurs f^\jo) est positive. Nous ferons, conformément à notre règle,

fl = 2,I, A— 2;

la fonction - ~Xr-x = o • — est constamment décrois-

santé et elle est égale à 0,6 pour a: = 2 ; on peut donc poser M = 0,6. Les nouvelles limites ont pour valeurs

«1 = 2,1— Y^-^3> *t = tft — 0,006,

et Ton peut prendre

On a ensuite

^ o.ooSoonSnS .

SECTION I, CHAPITRE VU. 35 f

et Ton peut faire, en arrêtant le calcul à la cinquième

décimale,

Appliquons une dernière fois la méthode de Newton;

on aura

.j,^ o , 000 1 1 5c)(>86 qo8 1 6

ôj =r a, — o, 00000 oooo3 ;

en faisant la division indiquée, on pourra compter sur les neuf premières décimales, et Ton aura pour la racine demandée

xo= 2, 094551481

à une unité près du neuvième ordre décimal, par défaut»

Méthode d'approximation de Lagrange.

Idi, La méthode de Lagrange a pour objet le développement des racines en fraction continue. Soit l'équation

et supposons qu'on ait constaté l'existence d'une ou de plusieurs xacines positives comprises entre les entiers, consécutifs a et a + 1 : le cas des racines négatives se ramènera à celui des racines positives, en changeant x en — X dans l'équation proposée. On fera, conformément à ce qui a été dit au n^ 1 ,

et Ton obtiendra la transformée en x^

(a) /.(-O = <•>< + Ai"xrV • • • + Ai!!.-. + a2'=o^

352 cou as d'algèbre supérievre.

cette transformée aura autant de racines positives supérieures à i que la proposée a de racines entre a eta -*- i; considérons l^une d'elles et supposons qu'elle soit comprise entre les entiers consécutifs a i eta|-»-i, on posera

et Ton aura la nouvelle transformée

(3) /.(x.)=A';>< +A[" <-' + .. .+AL*i.*.+Al:> = o.

laquelle aura autant de racines positives supérieures à i que la proposée a de racines comprises entre a H et

a H On peut poursuivre indéfiniment ces opérations et chacune des racines de la proposée qui sont comprises entre a et a -h i se trouvera exprimée par une fraction continue

dont les réduites 77 > tt » • • • fourniront des valeurs de

Qi Qi plus en plus appprochées.

Quant aux transformées successives (2), (3), etc., chacune d'elles se déduit de la précédente par une règle uniforme ; on a effectivement

et la transformée en x^^ sera