m ainsi Ton aura

Remarquons enfin qu'on peut toujours faire en sorte, si on le jugea propos, que Téquation proposée n'ait qu'une seule racine comprise entre deux entiers consécutifs ; car il suffira, pour atteindre ce but, de multiplier toutes les racines de cette équation par un nombre convenablement choisi; alors chacune des transformées (2), (3), .•• n'aura qu'une seule racine positive et supérieure à i.

165. La méthode précédente serait d'une longueur rebutante dans la plupart des cas, si, en la proposant, Lagrange n'avait indiqué un procédé très-simple qui permet de déterminer sans tâtonnement la suite des quotients a, a^, ^2, ..., lorsque quelques-uns des premiers termes sont connus. Voici en quoi consiste ce procédé.

Soit ~ la (/i -f- 1 )•*"»• réduite de la fraction continue

formée avec les quotients a, «i, ... (n° 2); la racine x dont cette fraction est le développement aura pour valeur

on tire de là

ou, à cause de

s. — ^Ig. tuj)., 1. a3

Si l'on remplace x par chacune des racines ar, x\ a/', ... de la proposée, il est évident que la formule précédente donnera les racines correspondantes x,,, x], , x^ , ... transformée en Xn \ on aura donc aussi

et, en ajoutant ces dernières égalités, il viendra

Mais, dans la transformée en Xn, savoir

la somme des racines est ^j \ on peut donc remplacer

Aq

j:'„-f-xJi-f-... par — Xn — -tt^j dans l'égalité précédente,

et si l'on fait en outre, pour abréger,

A^p-"^ -t-p— ^ -Hp— ^ +...,

£^x' ^-x" ^-x^ Qi» Q» Q»

il viendra

enfin si l'on pose