IL

on aura

«» — Ç» H ôj

P Par conséquent, dès qu'on sera arrivé à une réduite ^

telle, que l'on ait

Terreur commise en prenant

(5) ^n=in

sera moindre que -7 en valeur absolue, et si Ar a une valeur suffisamment grande, on connaîtra directement, par la formule (3), le quotient entier a^ contenu dans x„. Cela suppose que A est connue; mais il est évident qu'une valeur médiocrement approchée de cette quantité suffit

P pour notre objet. Or les réduites -p s'approchent rapi-

dément de x, et A diffère d'autant de moins de la quantité „ I î I

que n est plus grand; on a d'ailleurs (n** 49)

/(X) X — or X— :r' X -- x" X — •r*' '

et, pour lL=x-{-hj le premier membre de cette formule se réduit, à cause def[x) = o, à »

expression qui tend vers la limite ^;. . quand h tend

356 COURS d'àlgkbre si lÉnituiiE.

vers zéro. On a donc

et à la condition (4) on pourra substituer la suivante:

Désignons par | la valeur approchée de x qui répond k Xn== Ç«; on aura, d'après la formule (i),

d'où

le second membre de cette formule (7) diffère peu de la quantité

laquelle donne ainsi la mesure de l'erreur commise quand on prend { pour valeur approchée de x.

On peut conclure de là que, si le développement en fraction continue est assez avancé, la formule (3) donnera non-seulement le quotient incomplet a„, mais encore quelques-uns des quotients suivants, et Ton obtiendra ceux-ci en poussant le développement de 5„ en fraction continue jusqu'à une certaine limite qu'il est facile d'évaluer approximativement. Pour cela, supposons qu'on ait réduit $„ en fraction continue et que l'on ait écrit les quotients obtenus à la suite de ceux qui ont été déjà trouvés ; prolongeons au moyen de ces quotients la suite

des réduites, et soit - l'une d'elles. Il est évident que

SECTION I. — CHiPITRB VU. 357

— sera Tune des réduites de ^ ; si donc on nomme » le

P' quolient complet qui lui correspond et que ^^ soit la

P réduite qui précède -9 on aura

la formule ( 7 ) deviendra donc

P iti —à

ou, à peu près,

Soit maintenant 6 un nombre quelconque, et supposons

p le dénominateur Q de - tel que

(9) Q<— ÎV'

le second membre de la formule (8) sera inférieur en valeur absolue à

il sera donc inférieur à —z-i si Ton a

- + -<- ou 6> î

P et, dans ce cas, - sera certainement Tune des réduites

de X (n« 8).

On voit par là qu'à partir de la réduite p~ le déve-

loppement de ^n fournit les quotients nécessaires pour prolonger la suite des réduites, jusqu'à ce qu'elles aient environ deux fois autant de chiffres que celle d'où l'on est parti. Il faut cependant remarquer que cette conclusion peut être en défaut quand le quotient qui suit celui auquel on s'arrête n^est pas supérieur à 2.