XX X
et Ton trouve, par la division,
= x'«-»+fl
^Px
-~Pm-\^ -^Pm-\'
Si, dans cette dernière équation, on remplace a successivement.par chacune des autres racines, et qu'on fasse généralement
Sn= a** 4- ^^ -h c* -h . . . H- ^'* -f-/",
C0ITR8 d'algèbre SUPÉEIEITRE.
on aqra, en ajoutant tous les résultats, la valeur suivante de X'
-mar'»-«-h5i
ar«-«-4-/.
««-»-hi,
-Hw/^i
-"r-piSx
-^PxSt
-^Pl^m-i
-f-iiip,
+ /Vi
-^Pt^m-'l
-^mpt
-^Pm-^X
La comparaison de cette valeur de X' avec celle écrite plus haut fournit les relations suivantes :
; ^i-^Pi =0,
\ St-^PlSi-^2pt = 0,
(0 \ h-^Pi^i-^ PtSi-h 3p^=iOj
La première de ces formules fait connaître Si ou la somme des racines, la deuxième fait connaître S2 ou la somme des carrés des racines, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui fait connaître Sm^i . On trouve de 'cette manière
Si=—Pu
S7=p]—^Pu
5, =— /?; -4- 3pxpt — 3pu
*4 =P\ —ip'tP*-^ ^PiPi-^ ^p\ — 4a»
U — —p\-^^P^P%'-^P\P^—5[p\—pK)Px•^^[PlP%—PJ^]f
Voici maintenant comment on peut obtenir les sommes de puissances semblables, dont le degré surpasse m — i, et celles dont le degré est négatif. Soit ra un nombre entier positif nul ou négatif, et multiplions l'équation pro-
SECTIOlf II. — GHAPITBE I. 879
posée par x^; elle deviendra
Remplaçons successivement x par chacune des racines a, by C....J et ajoutons tous les résultats; on aura
En donnant à n les valeurs o, i, a, . . ., et observant que ,^0 = 'w, on obtient les relations suivantes :
Sm -♦-A^l^^-i-h^lfm-l-h . . . -f Pm-iSi-hmp^ = G,
( 2 1 / *'»•*•» "*"^**'» -^Pt^m-l-^ • • • -^Pm-i^t-^Pm^l = O,
^m-ht-^Pl^m+f^Pt^m "4- . . . -^Pm^th-^Pm^f = O,
Les sommes ^o^a» . . . , 5^.1 étant connues par les formules (i), la première des formules (a) déterminera s^f la deuxième Sm^ij et ainsi de suite.
Il importe de remarquer que les valeurs des sommes 5« , 52, ... ne contiennent dans leur expression aucun dénominateur, et que si les coefficients pi, pa, ... sont des nombres entiers, les sommes s^, 5a, ... sont aussi des nombres entiers.
Réciproquement , si Ton connaît 771 sommes de puissances semblables, par exemple 5| , 5a, . . . , Sm, on pourra déterminer les coefficients piy p2, ... à Taide des formules (i)et(2), qui ont été données, pour la première fois, par Newton.
Pour calculer les sommes de puissances semblables des racines à exposants négatifs, il suffit de donner au nombre «, que nous avons introduit, les valeurs successives — I, — 2, — 3, ...; mais, àPégard de ces sommes de puissances négatives, le moyen le plus aisé de les
trouver consiste à changer x en - dans Péquation proposée, et à calculer ensuite les sommes de puissances
38o COURS d'àlgèbue supéRiEuaE.
semblables à exposants positifs des racines de l*équaticn transformée.
On peut remarquer qu'en appliquant les formules ( i ) et ( 2) au cas de l'équation binôme x^ — 1= o, on retrouve immédiatement les résultats que nous avons obtenus au n** 106 par une voie différente.
Usage de la diiàsion algébrique pour le même objet.
172. On peut employer, pour calculer les sommes des puissances semblables des racines d'une équation, une autre méthode qui n'exige qu'une simple division algébrique. Soit toujours ' X = o
une équation ayant pour racines a, b,c, . . -, Â", /. Si X' représente la dérivée de X, on a, comme précédemment,
A X — a Jt — ô X -^ l
La fonction est développable en uue série convergente ordonnée suivant les puissances négatives et décroissantes de X, pour toutes les valeurs de x dont le module est supérieur au module de a ; on trouve, par la
division,
X — a X x^ jr*
donc, en remplaçant successivement a par chacune des autres racines, et ajoutant ensemble tous les résultats, on aura
X' m Sx 5,
OU
X X' f 1 Sm
