A. XX

Pour le calcul numérique, il sera plus commode d'éviter les exposants négatifs: on changera alors x en -5

et la fraction -^^r- prendra la forme ^» Zj et Z étant des fonctions entières de -j; on aura

et Ton obtiendra toutes les sommes s^y s^^ ...y par la division des polynômes Z| et Z que Ton ordonnera suivant les puissances croissantes de z.

On peut trouver de la même manière les sommes 5<, s 2, ..., des puissances semblables à exposants négatifs. Effectivement, la fonction est développable

en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x, pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur au module a, et Ton trouve, par la division,

donc, en remplaçant successivement a par chacune des autres racines et en ajoutant les résultats, on aura

On obtiendra donc les sommes 5<, 5«a, ..., en ordonnant les polynômes — X' et X suivant les puissances croissantes de x et en effectuant ensuite la division du premier polynôme par le second.

Le principal avantage de cette seconde méthode, fondée sur la division algébrique, consiste en ce que Ton peut

38^ CODAS d'algèbre supérieure.

en déduire facilement, comme on le verra plus loin, l'expression générale de Sn ou de 5« en fonction des coefficients deTéquation proposée. Les formules de Newton ne conduiraient que péniblement au même résultat.

Détermination des fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d^une équation.

173. Les formules établies au n® 171 permettent de calculer successivement les fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d'une équation.

Soient a, i, c, . • • , Ar, / les m racines d'une équation

de degré /w, et considérons une fonction symétrique double, dont un terme soit «•&*; la fonction dont il s'agit étant déterminée quand on en connaît un terme, nous

la représenterons, pour abréger, par \ a*i', et nous

continuerons de désigner par 5« la somme des puissances ^ièmes j^ toutcs Ics racincs.

Cela posé, si l'on multiplie entre elles les deux sommes Sa et Sfy on obtiendra un produit qui sera évidemment la somme des deux quantités s^^ et \ o*.i^ ; on a donc (i) \a^b^ = SaS^-'S,^.

On voit que toute fonction double \ «• i* est exprimable, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l'équation proposée, puisque 5., s^ et s^^ le sont; en outre, si les coefficients de l'équation sont des

sera aussi un nombre entier.

SBCTION II. GHAPITEE I. 383

La formule (i) n'a plus lieu quand 6 == a ; on voit, en effet, que si 6 devient égal à a, les termes de \ «"A* seront égaux deux à deux, en sorte que cette quantité se réduira à 2 \ a* A" ; on a donc

En remplaçant s^ et 5,. par leurs valeurs, on obtiendra une expression de\ a*i*qui ne contiendra plus

le dénominateurs. Cette proposition n'est pas évidente; mais nous ne nous arrêterons pas ici à l'établir, parce qu'elle résultera, comme on le verra plus bas, des méthodes proposées par Waring et par Cauchy, pour la détermination des fonctions symétriques des racines d'une équation.

Une fonction symétrique triple, qui renferme le terme

tf.A*cT, pourra être représentée par \ a*i*cT. Si l'on

multiplie la fonction double \ a^A^parj^, on trouvera pour produit

Vo*6*cT-4- VaM^6«-h Va«A«+T; on a donc

Cette formule fait connaître la fonction triple \ a^b^c^,

car le second membre ne contient que des fonctions doubles que l'on sait calculer. Si l'on veut avoir l'expression

384 COURS d'àLGÈBRB SUPÉKIEUllE.

de la fonction triple, au moyen des sommes de puissances semblables, il suffira de remplacer les fonctions doubles par leurs valeurs connues ; on trouvera ainsi

(3) \ a*^«cT=^«jfj^— *^e*^ — ^jn^^e — 5f+Y*«-»-2^«-i-«+Ti

et l'on voit que les fonctions triples s'exprimeront conmie les fonctions simples et doubles, sous forme rationneUe et entière, par les coefficients de l'équation proposée. La formule (3) ne subsiste pas, si deux des exposants ou tous les trois deviennent égaux entre eux; mais on peut en déduire aisément les valeurs des deux fonctions

Va«ô*cT et Vû«ô*c*.

On voit, en efl'et, que si 6 devient égal à a, \ a*A'cT

se réduit à a \ a^b*c^ et à 2.3 \ a^b^c*, si en même temps y devient égal à a ; on a donc

En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du quatrième ordre, puis celles du cinquième, et ainsi de suite. Il est presque superflu d'ajouter que, quand on aura calculé, en général, l'expression d'une fonction symétrique entière et homogène dun'*"* ordre, si fi exposants deviennent égaux entre eux, il faudra diviser par i.a.3...fiila valeur qu'on aura trouvée.

SECTIOK II. CHAPITRE I. 385

On voit par là que toute fonction symétrique entière et homogène des racines d'une équation peut s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et que la même chose a lieu, d'après les remarques faites précédemment, pour une fonction rationnelle et symétrique quelconque.

Méthode de TF'aring pour calculer une fonction sjnictrique rationnelle et entière des racines d'une équation,

174. Waring a indiqué, dans ses Meditationes algehraicœ (*), une méthode par laquelle on peut former directement l'expression d'une fonction symétrique et entière quelconque des racines d'une équation en fonction des coefficients de cette équation. Nous allons faire connaître ici cette méthode, qui, dans un très-grand nombre de circonstances, devra être préférée à celle que nous venons d'exposer.

Soit l'équation

x"* -+> p, x"»-» -h p^x"'-^ -*-...-+- pm-^, X -+~ p^ -= o.

dont les ni racines sont

et supposons qu'il s'agisse de trouver la valeur d'une fonction symétrique et entière V de ces racines.

Pour plus de clarté, il convient d'imaginer que l'on ait ordonné la fonction V de la manière que nous allons indiquer. Désignons par a l'exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée chaque racine, et, en

(•) Editio tcrtia, p. i3.

S. — ^iff, suf; !• 35

386 COURS D* ALGÈBRE SUPÉUTEURB.

particulier, la racine a dans V ; par S Texposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée la racine b dans la partie de V qui contient le facteur a*; par y l'exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée c dans la partie de V qui renferme le facteur /i' i* ; et ainsi de suite, en sorte que 1 désignera finalement l'exposant de la plus haute puissance de / dans la partie de V qui contient le facteur a* A' c^... A*. D'après cela, la fonction V contiendra un terme de la forme

auquel nous assignerons le premier rang; A est une constante donnée; il se peut que quelques-uns des exposants

soientnuls; en outre, chacun de ces exposants peut être égal, mais non supérieur au précédent. Je dis, par exemple, qu'on ne peut avoir 7]>ê; en effet, la fonction symétrique V qui renferme le terme Aa^i^cf. . . A*/^ contient aussi le terme Aa^i^c'... A"/^, qui se déduit du premier en permutant les lettres i etc; or, si Ton avait 7^ 6, A' ne serait pas, comme nous l'avons supposé, la plus haute puissance de b contenue dans là partie de V qui renferme le facteur a*; donc on a nécessairement 7 <^ 6 ou 7= S. Ce raisonnement s'applique évidemment aux autres exposants.

Le premier terme de la fonction V ayant été fixé comme il vient d'être dit, nous appliquerons la même règle à la détermination du rang de chacun des autres termes, et nous écrirons

V= Aa*h^cT... X^^-^...,