CHAPITRE

Gela

posé,

on

= \aB,

(,)«-ip„,=y«tc.-..*,

Si l'on élève ces égalités aux puissances

respectivement, qu'on en fasse ensuite le produit et qu'on multiplie enfin de part et d'autre par A, le premier membre de l'égalité résultante sera

A ( — I )*-'-«+T+- .+^ r,«-ey/-ir . . . ««-\ p^ .

Nous le représenterons, pour abréger, par P; quant au second membre, il sera une fonction symétrique des lettres tty bj Cj ...y k, Ij et, si nous l'oitlonnons de la même manière que V, il est évident que son premier terme sera Aa*i*cT^... A"/^; on aura ainsi

En retranchant la seconde des fonctions symétriques V et P de la première, on obtient une nouvelle fonction symétrique V| , telle que

Si l'on opère surVf comme on a opéré sur V, on obtiendra une troisième fonction symétrique V2, telle que

Pi désigne une quantité analogue à P, et qui est, comme celle-ci, le produit d*une constante par diverses puissances des coefficients pi, ^2. • • • > Pm«

En poursuivant ces opérations, on voit qu'on obtiendra une suite de fonctions symétriques

telles que

^== V,fc-.i,

chacune des quantités P, P|, ..., P^^ est le produit d'une constante par diverses puissances des coefficients pi , ^2) ' ' ' y Pnf E^n outre, si Ton imagine une fonction entière U formée des premiers termes des fonctions V, V| , . . . , V^ et ordonnée de la môme manière que ces fonctions, il est évident, d'après le procédé que nous avons suivi, que le premier terme de Tune quelconque des fonctions V| , Va, . . . , Vj^ occupera, dans U, un rang supérieur au rang du premier terme de la fonction précédente. Or le nombre des termes susceptibles d'occuper, dans U, un rang supérieur à celui d'un terme donné est nécessairement limité ; donc, dans la recherche des fonctions V| , V2, ..., on finira toujours par arriver à une constante, et alors l'opération sera terminée. Supposons, d'après cela, que Vj^ se rédufie à une constante; il viendra, en ajoutant les égalités précédentes,

V ™ P -f- Pj M- p, -h . . . H- P^j -t- V,,,

formule qui fera connaître l'expression de la fonction

SECTIOir II. — CHAPITRE I. SSp

s}rmétrique proposée V en fonction des coefficients p^ ,

P^y • • • > Pm»

On peut conclure de là que toute fonction entière et symétrique V des racines d'une équation est exprimable rationnellement par les coefficients de l'équation, proposition que nous avons déjà établie (n" 173) ; mais on voit, en outre, que si les coefficients de l'équation sont des nombres entiers, ainsi que ceux qui multiplient les différents termes de V, la valeur de cette fonction V sera également un nombre entier.