I .2. . .fA

^v:îdF(,,,,^4)^(^.±.6)(v:t5)F(,*-3,v+6)...

F(o, V -f- 2u) 1.2...IP-1J ^ •'

(— l)V^/iy^v4-,*+» = F(fi — 71, V + 27J) -h . . . . 1 .2. . .(p — «) '

(~)Vv+ïpL==F(0,V-+-2ft),

où la quantité pi doit être regardée comme nulle si Tindice I est supérieur à m.

Ajoutons toutes ces égalités après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

et supposons ces facteurs choisis de manière que les

SBCTIOn II. GHAPITUB 1* Zgi

quantités

soient éliminées du résultat; il viendra

Nous allons maintenant chercher les valeurs des facteurs X|, Xj, . . . , Xpi. Les équations qui déterminent ces facteurs s'obtiennent en donnant à /i les (x valeurs i, a 3, . . . , (i dans la suivante :

mais cette équation peut s'écrire d'une autre manière. Posons, pour abréger,

et

« — p (v-h 2 7î) (vH- 2/1 — l)...(v -4- 2/1 — p)

On aura

— jj — 0„ -4- Al,

et généralement -

394 couus d'algèbre supérieure.

D'après cela, notre équation devient, en remarquant que Ar est nuly

H- A„, (>, 4- Ô,^i ) -h A^«i ( Xi -i- 6, ) = 0

En donnant successivement à n les valeurs i, 2,3, ...,/i, on obtient n équations, d'où l'on tire immédiatement

ou

(y 4-2;i)(y-h/i — 1)^ *»~~ (vH-2//-2)./l • »-*•

En multipliant ces égalités membre à membre, il vient

ce qui permet d'écrire immédiatement la valeur de la fonction symétrique cherchée F([jl, v),

II faut remarquer que notre procédé est en défaut dans le cas de V = o, mais la formule qui fait connaître \n ne cesse pas toutefois d'être exacte. Dans le cas dont il s'agit, les valeurs de 6^ et de Ap deviennent

^ (2/l — l)f2/l~2]...(ail-p)^

on voit que A^ n'est pas nul, comme dans le cas gêné*

SEGTIOn IT. CHAPITKE I. BqD

rai, et qu'il est ici égal à A;i»j. L'équation entre Xjj, ^w-o • • •> ^< peut alors s'écrire ainsi :

en remplaçant successivement n par i, 2, . . . , n, on obtient n équations, d'où l'on tire

et, par suite,

X, = (-l)'».2; on a donc cette valeur de P(fx, o),

Méthode de Cauchy.

177. Gauchy a publié, dans ses anciens ^'xercicej de Mathématiques (4* année, p. io3), une méthode nouvelle et fort élégante pour obtenir la valeur d'une fonction symétrique et entière des racines d'une équation. Celte méthode consiste à éliminer successivement de l'expression de la fonction symétrique qu'on veut évaluer chacune des racines de l'équation proposée ; elle repose sur la proposition suive nte :

Soit V une fonction symétrique et entière des racines aj bj c, . . . , i, A", / d'une équation

ar« -f- /7i a:'"-* -f- ;?, x^« 4- . . . -+-/?^».t ;r -h />;„ = o,

que nous représenterons aussi, pour abréger, par

et supposons qu'ayant éliminé de l'expression de V, par un moyen quelconque, toutes les racines excepté a, on

ait mis la valeur de cette fonction sous la forme d'an polynôme entier et rationnel ordonné par rapport aux puissances de a, que l'on ait, par exemple,

V r- Aooy- -f- Al a^^ -4- . . . -h A^i a -f- A^,

Ao, A|, ... étant des quantités composées rationnellement avec les coefGcients de Téquation proposée; je dis que, si Ton divise cette expression de V par le polynôme

A=r «'«-^ /?!«'«-« -4- /?,«'»-» -4-. ..'hpn.^ia-hp^,

obtenu en remplaçant x par a dans X, le reste de la division ne contiendra pas a, et sera précisément la valeur de la fonction V.

En effet, si Q et R désignent le quotient et le reste de la division V par A, on aura V = AQ + R et, comme A est nul,

D'ailleurs, ce reste R est au plus du degré m — i en «; nous le représenterons par

et l'on aura

Mais, V étant une fonction symétrique, on peut changer les lettres a et i l'une en l'autre, ainsi que a et c, ... : et comme, par ces changements, q^, q\, ... conservent leurs valeurs, il s'ensuit que l'équation

sera satisfaite en remplaçant x par l'une quelconque des m racines a, 6, . . . , Ar, /; ce qui est impossible, à moins que les coefficients ne soient tous nuis, car cette équa-

SECTION II. CHAPITHE I. 3gj

lion n'est que du degré m — i ; on aura donc, en particulier,

<7;„i-V = o ou

comme nous l'avions annoncé.

La démonstration précédente suppose que les m racines a, i, c, . . . , /r, / sont inégales ; mais les conclusions précédentes ne subsistent pas moins, si quelques-unes de ces racines sont égales entre elles. Nous emploierons, pour justifier cette assertion, un raisonnement tlont on fait un fréquent usage en Analyse.

Si l'équation X = o a des racines égales, on considérera d'abord à sa place une équation X< = o, dont toutes les r.icines seront inégales, et qu'on obtiendra en faisant subir des modifications insensibles aux coefficients de X; par exemple, si l'équation X = o a trois racines égales à «, et que les autres racines soient diflerentcs, on prendra

Le polynôme X| ne dilTère de X qu'en ce que deux des trois racines égales à a sont remplacées par a -h h et a-^h' : on voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister davantage, comment on devrait choisir le polynôme X,, si, outre les trois racines égales à a, l'équation proposée avait plusieurs racines égales à J, à <;, .... Gela posé, substituant l'équation X< = o à X = o et conservant d'ailleurs les notations précédentes, on arrivera à l'équation

cl cette équation aura lieu, quelque petites que soient les quantités /z, h\ . .^. ; elle aura donc lieu aussi à la limite, quand on fera A = o, A'= o, • • ••

398 COVHS d'algèbre SLiFÉ&lELUE.

178. Voici maintenant la méthode donnée par Cauchy, pour calculer la valeur d'une fonction symétrique et entière V des racines a, i, c, ..., », /ir, / de réquation

Divisons X par x — a, et désignons par X| le quotient; divisons de même X| para: — J, et désignons parXj le quotient, puis X2 par x — c, et soit Xj le quotient, et continuons ainsi d'enlever de X tous les facteurs linéaires jusqu'à or — k inclusivement, en sorle que Xto-i ne contiendra plus que le seul facteur x — /. Cela posé, considérons les m équations

X = o, Xi = o, X, = o, . . . , X;„-i = o.

La première n'est autre que la proposée, et elle a pour racines a, &, c, ...,A^, /; la seconde a pour racines i, c, ..., k, /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de a et des coefficients de la proposée ; la troisième a pour racines c, . . . ^ Xr, /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de b et des coefficients de la précédente, c'est-à-dire en fonction de a, h et des coefficients de la proposée ; et, en général, les coefficients de l'une quelconque de ces équations sont exprimés sous forme entière en fonction des coefficients de la proposée et des racines qui n'appartiennent pas à l'équation que l'on considère. Désignons enfin par A la valeur de Xpoura: = a, par B la valeur de X| pour x = b, par C celle de X2 pour x = c, et ainsi de suite, en sorte que I sera la valeur de X^-a pour x = i, K celle de X,„j pour j: = Ar, et L celle de X^-i pour x = l; on aura

Gela posé, V est une fonction symétrique, non-seulement des racines de l'équation X = o, mais aussi des

racines de l'une quelconque des équations

X = O, Xi = O, . . . , X„,«.3 = O, X;,t__, =:0, X;,t-1 ==0,

Nous allons faire voir comment, en s'appuyant sur celle remarque, on peut, à Taide du théorème fondamental démontré plus haut, éliminer successivement chaque racine de l'expression de V.

D'abord l'équation L = o, où / entre au premier degré, permet de chasser immédiatement / de l'expression de V. Considérant alors V comme fonction symétrique des deux racines A et / de l'équation Xot-2 = o, dont l'une / est déjà éliminée, on l'ordonnera par rapport à A", et on la divisera par K, conformément à ce qui a été dit plus haut; le reste de la division ne contiendra pas k et sera la valeur de V débarrassée des racines Â' et /. On considérera alors V comme fonction symétrique des trois racines i, A, / de l'équation X^-s = o, dont les deux dernières n'entrent plus dans son expression, et, l'ayant ordonnée par rapport à i, on la divisera par I à l'effet d'éliminer i\ le reste de la division ne contiendra pas i et sera la valeur de V débarrassée des trois racines i, A , /. On continuera de la même manière^ jusqu'à ce qu'on ait éliminé de V chacune des racines a, é, c, . . . , i, A*, /; on aura alors la valeur de cette fonction exprimée par les coeflicients de l'équation proposée.

Il importe de remarquer que l'expression définitive Je V s'obtient par de simples divisions, et que les premiers termes des polynômes A, B, C, . . . , I, K, L, qui servent successivement de diviseurs, ont tous l'unité pour coefficient : par conséquent, ces divisions n'introduiront aucun dénominateur: en sorte que, si l'expression primitive de V est entière, non-seulement par rapport aux racines a, &, c, • . . , i, A", /, qui y entrent symétriquement, mais encore par rapport aux coeflicients p^^

400 cocus D'iLGtBkE SUPÉRIEURE.

pa, . . ., qui peuvent eux-mêmes y figurer, l'expression définitive de V sera aussi entière par rapport à ces coefficients ; enfin, si ces mêmes coefficients sont des nombres entiers, V sera pareillement un nombre entier. Ce résultat important, que nous n'avions pas établi complètement par notre première méthode, mais qui résulte immédiatement delà méthode de Waring, se déduit aussi, comme on voit, de la méthode de Cauchy.

jippUcation de la méthode de Cauchy à un exemple.

179. Nous allons appliquer la méthode de Cauchy à la détermination du produit des carrés de toutes les différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deux. Cet exemple suffira pour montrer comment on peut, par des artifices convenables, simplifier dans certains cas l'emploi de la méthode.

Soient toujours a, i, c, . . . , /:, / les m racines de l'équation

(i) X =r a:'« 4-/?, JC'"-* -f-Z^îX"'-» 4- . . . -f-/>,n-i •>?+/>/« = Oî

soient aussi

V r=z[a ^bY[a--cY..,[k — /)« et

V sera le produit des carrés des différences de racines de l'équation (i), prises deux à deux, et V| le produit des carrés des différences des racines de l'équation

OU

SECTIOIV II. CHAPITBE I. 4oi

Cela posé, on a

V=:V,(fl-*)«(a-c)2.,.(û.X')«(«-/)î.

Mais le produit {a— b){a — c). . .(a — k) (a— l) est égal (n^ 49) à la valeur que prend la dérivée du polynôme X pour x = a, c'est-à-dire égal à

m^^'«--t -f. ( w - i );,, a"t-« + . . . + ^^__^ . donc on aura

V = Vi [ma— » 4- (m ~ I ) /7i «'«-« -I- . . . + ;,^^j]t.

D'après cela, si nous admettons qu'on sache former la valeur de la fonction V pour une équation de degré m — I, on pourra également trouver la valeur de cette fonction pour une équation du degré m. Effectivement, par hypothèse, on sait exprimer la valeur de V^ par les coefficients de Téquation (2), c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de la proposée ; donc la fonction V pourra elle-même être mise sous la forme d'un polvnôme ordonné par rapport aux puissances de a, et, en divisant ce polynôme par le premier membre de Téquation proposée, dans lequel on aura remplacé x par a, le reste de la division donnera la valeur cherchée de V. Or on sait calculer la fonction de V pour une équation du deuxième degré ; on pourra donc calculer cette fonction pour l'équation du troisième degré, puis pour celle du quatrième, et ainsi de suite.

Cas de l'équation du troisième degré. — L'équation proposée est

et Ton a

S. — j4/ff, suf,, I. 2C

V| étant relatif à l'équation du deuxième degré,

-^ pa

On a immédiatement

d'ailleurs

[a — h][a — c):= 3^z*-»- ^pa -t-^,

par suite

( — 3a* — ipa -4-/?* — 47)(3o*-+- 2/>« -4- </)*

a»+ip'

a*-h^p*q \a-hp*tj

— 1-ipq

-18 pq^\ -4 y»

Divisant cette valeur de V par a' -f- pa* -f- 7^ -h r, on trouve pour quotient

— 27a*— 27^0*— 27^aH-(4p'-4- 27 r— i8/»g),

et pour reste

— - 47' — 27^-4- iSpqr-^p^q^ — 4^'*'"»

ce qui est précisément la valeur de V que nous cherchons. On trouvera dans le Chapitre suivant une méthode plus expéditive pour résoudre la même question.

Formation de l'équation de laquelle dépend une fonction rationnelle et non symétrique des racines d'une équation donnée.

180. Soient a, by Cy ..., ky lies m racines d'une équation donnée X = o, et

une fonction rationnelle donnée de ces racines, ou de quelques-unes d'entre elles. La théorie des fonctions symétriques conduit à une méthode très-simple et trèsélégante pour former Téquation dont V dépend. Nous allons développer ici cette méthode.

Si la fonction V contient n des m racines, le plus grand nombre de valeurs qu'elle puisse prendre quand on échange les lettres a^ b, c, , . ., A, / les unes dans les autres, de toutes les manières possibles, sera évidemment égal au nombre des arrangements de m lettres n à 72, c'est-à-dire égal à

Mais il peut arriver que le nombre des valeurs distinctes de V soit beaucoup moindre; nous désignerons par fx ce nombre de valeurs, et par

les |X valeurs de V. L'équation en V sera alors

(v-vO(v-vo...(v-v,) = o

ou

VI* -f- F, yv-i -4- P, \^^ -h . . . -f- P,^i V 4- P^, — o,

en posant

Vi + V, + ...+V^ = -Pi,

ViV, v,= (--ifP,.

Or les quantités Pj, P2, . . . , P,^ sont des fonctions symétriques des quantités V|, V2, . . . , et, par suite, elles sont aussi des fonctions symétriques des racines a, b, c, . . • de l'équation proposée ; on pourra donc calculer les coeflBcients de l'équation en V par l'une des méthodes que nous avons exposées.

4o4 COURS d'algèbre supérieure.

Nous avons admis comme évident que toute fonction symétrique des quantités V|, Vj, ... est aussi une fonction symétrique des racines a^ h, c^ .... Voici, au surplus, un moyen très facile de le démontrer.

Par hypothèse, les quantités

sont toutes distinctes, et ce sont les seules valeurs que \ puisse avoir. Faisons subir aux lettres

une permutation quelconque, et supposons que V, se change en V,, V2 en V',, ... ; les quantités

^ 2 ) V , , y j , . . . , VjA

devront toutes se trouver dans la série V| , Va, . . . , puisque celte dernière comprend toutes les valeurs de V ; je dis, en outre, que tous les termes de la série (2) sont différents, et que, par suite, cette série coïncide avec la série (i) : on ne peut avoir, par exemple, \\ ^V'^, car V| et V2 ne diflèrent de V, et V, qu'en ce que les quantités dont ces fonctions dépendent y sont désignées par des lettres différentes, et l'égalité V, = V, entraînerait, en conséquence, Vj = Va, ce qui est contre l'hypothèse. Il résulte de là que, si l'on fait subir aux lettres fl, A, c, ... un changement quelconque, les quantités V|, Vo, ••., ne feront que s'échanger les unes dans les autres; par suite, une fonction symétrique de ces fonctions ne sera pas changée, et elle sera aussi symétrique relativement aux quantités a, J, c, . . . , /r, /.

On peut, dans bien des cas, simplifier le calcul de Téquation en V; on en verra un exemple dans la recherche de l'équation qui a pour racines les carrés des différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deux.

Equation aux carrés des différences.

181. Soient toujours a, b, c^ . , ., A", / les m racines de l'équation X = o, et posons

Téquation en V sera du degré = fA, qui est le

nombre des combinaisons de m lettres deux à deux, puisque la fonction V est symétrique par rapport aux deux lettres qu'elle contient. Soit

VI* ^ Pj VI*-» + P, V**^» -4- . . . = o

cette équation, dans laquelle les coefficients Pj , Pj, . . . sont des fonctions symétriques des racines de l'équation proposée. Les valeurs deP<, P2, . . • seront données par les formules de Newton, si l'on connaît les sommes des puissances semblables S^, So, . . . , S,^ des racines de l'équation en V; tout est donc ramené à calculer ces dernières sommes en fonction des coefficients de l'équation proposée, ou en fonction des sommes s^, s^, - - des puissances semblables de ses racines, puisque les sommes .V,, ^2, ... s'expriment par les coefficients, au moyen des formules de Newton.

Voici le procédé indiqué par Lagrange pour calculer les sommes Sj, S2, ... relatives à l'équation en V, au moyen des sommes s^^s^j ... qui se rapportent à l'équa» lion proposée.

Posons

si l'on donne à x successivement les valeurs a, b,Cy » . .,

4o6 COimS D^LGÈBKE StJPÉKIEURB.

k, /, et que Ton ajoute tous les résultats, on aura

Or le second membre de cette équation est évidemment égal à 2 S/i ; donc

D'un autre côté, en développant les différents termes de ^(x), on trouve

^- ^«» — î/lôar*"-* ^- ^''^^''""'^ ô*x*»-* — ...+*«» 1.2

ou

^(x)r=m.r*'»— 2«JiJr»'»-*-4- — ^-^^^^^ Jja:*'*-* — . . . -4-5j„.

Remplaçant x successivement par a, &, c, . . . , /, et ajoutant tous les résultats, on aura la valeur suivante de <f{a) -hcp(J) -h. . .-h ç(/) ou de 25»:

2 S„ 1= /72.Çj„ — 2 /îJi 5,„| H ^^ i-

Les termes à égale distance des extrêmes sont égaux dans le second membre; par suite, on a cette valeur

de S;,,

En donnant à n les valeurs successives i , 2, 3, . . . , fx, on connaîtra les sommes S^ S2, . - . , S^ dont on a besoin ; on achèvera ensuite le calcul, comme nous l'avons indiqué précédemment.

Cas de l'équation du troisième degré. — Prenons pour exemple l'équation du troisième degré

ar* -+- px* -+- q.r -^ r= o

et soit

V3^PV«-l-QV-4-R = o

l'équation aux carrés des différences.

On trouve

yj =:=—/?,

f 8 = — /?' -J- 3pq — 3 r,

s^ --/?* — ^p^q -h ù,pr-^ 2<7«,