r —77* -h ^p^q — - 5/?/" — 5/?7 -î- 5 qr

s^z=r.p^^^p\q -f-S/^'r-f- 9/?*^' — \7.pqr~ a^^-f-Sr*,

puis

Sj rrr 3^^ — 4^1 ^3 "f- 3^^ = 2/?* — 12/?*^ -h 187',

S3 -T 3.Vg — 6.^1 55 -i- i5^j54 — 10 5J — 2/?**' — 18/?*7 — 1 2/?*r-f- 57/?' y* -4- 54/?yr— 66g*— 8i r-,

et enfin

P :^ — Si = — 2/?* -h 6<7,

Sj -H PSi . /» • •

R = - ^i^^^^^-^^^ =4j>V-/7V - i8/»</r ^-4î' -H 27 /^. On suivrait une marche toute semblable pour former

4o8 COURS d'algèbre supérieure.

Téquation aux sommes deux à deux des racines d'une équation donnée.

Sur la forme des fonctions rationnelles d'une ou de plusieurs racines d'une équation,

182. La méthode générale dont nous venons de nous occuper s'applique avec le même succès, que V soit ou non une fonction entière des racines û, i, c, ... ; mais on peut facilement démontrer qu'une fonction rationnelle d'une ou de plusieurs racines d'une équation peut toujours, si elle n'est pas entière, être remplacée par une fonction entière équivalente.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, relatif aux fonctions rationnelles d'une seule racine :

Théorème. — Toute fonction rationnelle et non en-tlcre d'une racine a d'une équation

de degré, m est équiifalente à une fonction entière d^un degré inférieur à m.

Soit, en effet, la fonction rationnelle — — r? où o et d/

désignent des fonctions entières ; on aura identiquement

by C, . . ,, /désignant les autres racines de l'équation (i). Le dénominateur ip( a) ^[b) . . . ^p(/) du second membre est une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (i), et il peut en conséquence s'exprimer rationnellement parles coefficients de cette équation. Pareillement le facteur ^[b)^(c) ., .^[l) du. numérateur est une

SECTIOir II. — CHAPITRE I. 4^9

fonction symétrique et entière des racines de l'équation

et on peut Texprimer sous forme rationnelle et eiitièrc, en fonction des coefficients de cette équation, c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de l'équation (i). D'après cela, l'égalité (2) prendra la forme

où fl(a) désigne un polynôme entier et rationnel par rapport ka. En eflectuant le produit des polynômes cf et b^ notre fraction deviendra

-? ~Ao-f-Aia-4-Ajû"-4-. . .-hAaû^

et je dis qu'on peut supposer le degré fz inférieur à m. En effet, de l'équation^ (a) = o on peut tirer la valeur de aP^ qui sera exprimée par un polynôme du degré m — i ; en multipliant par a cette valeur de a'*, on aura a"*"*"* , qui sera exprimée par un polynôme du degré w, mais qu'on pourra abaisser au degré m — i, en remplaçant «"* par la valeur trouvée précédemment. En continuant ainsi, on exprimera chaque puissance de a, à partir de la m'*™*, par un polynôme du degré m — i , et, par suite, on pourra chasser de l'expression de ~ — que nous avons trouvée toutes

les puissances de a supérieures à la (m — i )'*"*. Mais on peut aussi opérer comme il suit : si (x est > m, on divisera le polynôme A© -h A, a -t- . . . pary(a), et en désignant par Q le quotient, par u(a) le reste qui est de degré inférieur à m, on aura

^.ç- =Ap-+-A|a-h...=:/(a)xQ-+-cTiûj;

4lO GOUBS d'algèbre SUPÉRIEURE.

d'ailleurs y (a) étant nulle, on aura simplement

OÙ cj désigne un polynôme de degré m — i au plus.

183. Quoique la démonstration précédente ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur et de la clarté, nous en présenterons une seconde qui aura l'avantage de nous fournir un procédé plus facile pour trouver la forme entière qui convient à une fonction fractionnaire donnée.

Soit toujours P-^ la fraction donnée, a étant une racine

def(x) = o. On peut supposer ^(a) de degré inférieur à m; car, si le contraire avait lieu, on ferait disparaître de ^(a) les puissances de a supérieures à la (m — i)«èa« par l'un des procédés indiqués précédemment.

Cela posé, opérons sur les polynômes /"( a) et ^{a) comme s'il était question de trouver leur plus grand commun diviseur; on aura cette suite d'égalités

/(«) = + («) Q,-+-R„ R, z^RjQa -4-R3,

R„-.,-^R„>iQ„-4-R„,

où Kn ne contient plus la quantité a. Or, y(a) étant nul, on aura

R.-(i-+-QiQO>K«).

R3 = -(QiH-Q3-^QiQ2Q3) + (^),

la dernière de ces égalités sera de la forme

SECTION II. CHAPITRE I. 4n

6 {a) désignant un polynôme entier et rationnel par rapport à rt, et Ton en tire

on a donc

Cette valeur de j^ — ; est entière par rapport à a, puisque

Rn ne contient pas a, et, si elle renferme des puissances de a supérieures à la (m — ij'ème^ ^j^ pourra les faire disparaître par le procédé que nous avons indiqué au n^ 182.

A la vérité, cette méthode semble en défaut dans le cas où les polynômes ^ (x) et/{x) ont un diviseur commun ; car, dans ce cas, la quantité désignée par R„ est nulle, ainsi que 0[a) : mais alors on pourra enlever de /'(x), par une simple division, tous les facteurs linéaires qui sont dans cp(x), et parmi lesquels ne se trouve pas x — a, car autrement 4i(rt) serait nul. En désignant par/i(jE:) le résultat ainsi obtenu, a sera racine deyi(x) = o, et le polynôme ^(x) étant dès lors premier avec^i [x), on pourra appliquer la méthode.

Il résulte de ce qui précède que la fonction rationnelle la plus générale d'une racine d'une équation de degré ni est une fonction entière du degré m — i, renfermant par conséquent m coefficients arbitraires.

Exemple. — Toute fonction rationnelle d'une racine a de l'équation du troisième degré

X* -4-/?.r* -h qjc -1- rz=zo

peut être mise sous la forme

AH-Ba 4-Ca»;

4i2 couns d'algèbre supérieure.

mais il est souvenl préférable de prendre une forme fractionnaire dans laquelle les deux termes soient linéaires, et celaest toujours possible; car, si Ton divise l'un par raiitre les polynômes a^ -f- pa^ -^ qa-^ r et Ca*-t- Ba -t- A, dont le premier est nul, on aura un quotient et un reste du premier degré en a, d'où il résulte que la fonction

A -H Ba -f- Ca* peut être mise sous la forme ^f-"

184. Extension aux fonctions rationnelles de plusieurs RACINES d'une ÉQUATION. — La méthode précédente a surtout l'avantage de pouvoir être appliquée aux fonctions rationnelles de plusieurs racines d'une équation. On a, en effet, ce théorème :

Toute fonction rationnelle non entière de plusieurs racines d'une équation peut être remplacée par une fonction entière des mêmes racines.

Rien ne sera changé à nos raisonnements, si la fonction rr— r> Que nous avons considérée , renferme d'autres

^ *(«) ^ racines i, e, . . . de réquatîony*(x) = o, et cette fonction

pourra se mettre sous la forme Ao -f- Ai^ -H . . . , Aq et A] étant des fonctions rationnelles de racines parmi lesquelles ne se trouve pas a. A leur tour, on pourra rendre ces fonctions Ao, Ai, . . . entières par rapport à une autre racine i, puis par rapport à une troisième, et ainsi de suite.

Méthode d'élimination fondée sur la tJtéorie des fonctions symétriques.

18o. Parmi les applications que l'on peut faire de la théorie des fonctions symétriques, on doit regarder comme Tune des plus importantes la méthode d'élimination que nous allons exposer.

Considérons deux équations, des degrés mein respec-

«EGTIOIf II. CHAPITRE I. 4^3

livement, contenant deux ou un plus grand nombre de variables x, j^, ... et entre lesquelles il s'agit d'éliminevy. Nous supposerons ces équations complètes, et leurs coefficients entièrement indéterminés, et, les ordonnant par rapport à j, nous les représenterons par

(i) 7'"-+-/>ir'"-*+7^îr'""'+. ..-+-y'/«-ir^-^//, = o,

Les coefficients p\y p^y • • • > ^o ^2? • • - sont des fonctions entières de x, etc.

Désignons par a, 2^, c. . . . , A, / les m racines de l'équation (i) ; ces racines dépendent de x et des autres variables, s'il y en a; en les substituant à j-, dans le premier membre de l'équation (2), on aura les m résultats / a» -f- 7, û«-» -^ ^ja"-» + . . . -f- <7„, a H- ^„. b'^ -i- q, b^-' H- 7, 6«-« 4- ... H- 7;,, ô -h 7;,,

(^) ^ ^/i-i-7iC«-i-hr/,c'«-«

/» -T- q, /«-* + 7, //*-« -f- . . . -t- çr„»i / -h 7„.

Cela posé, si l'on forme le produit de tous ces résultats, et que l'on désigne par V ce produit, il est facile de voir que

sera l'équation finale résultant de l'élimination de r entre les deux équations proposées. En effet, l'équation finale qui résulte de l'élimination de j- entre deux équations est simplement la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, et il est bien évident que la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune est que l'un des résultats (3), ou leur produit V, soit nul.

D'ailleurs, V est une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (i), qui contient, en outre, rationnellement les coefficients de l'équation (2); on pourra

4t4 COURS d'algèbre SCPÉRIEtJRE.

donc exprimer cette fonction rationnellement par les coefficients des équations (i) et (2).

186. La méthode précédente conduit facilement au théorème de Bezout, relatifau degré de Téquation finale.

Nous supposerons, comme précédemment, que les deux équations (1) et (2), Tune du degré m, l'autre du degré Uj soient complètes, et que leurs coefficients soient dans une complète indépendance. Alors les quantités p^ et «/< sont des fonctions entières du premier degré par rapport aux variables x, ... qui figurent dans les équations proposées; pareillement, p^y <fi sont du deuxième degré, et, en général, le degré des coefficients de y dans les équations (i) et (2) sera indiqué par leur indice. Cela posé, je dis que :

Le degré de l'équationfinale qui résulte de l'élimination d'une "variabley, entre deux équations complètes dont les coefficients sont indéterminés et indépendants les uns des autres, est précisément égal au produit des degrés des deux équations^

Considérons, en effet, un terme quelconque du produit des expressions (3), par exemple

ce terme se trouvera dans V, ainsi que la fonction symétrique dont il fait partie. V est donc la somme d'expressions de la forme

en observant qu'il faut remplacer q^^^ par 1 , si a = 7;, et de même pour les autres. Or, d'après ce qui a été dit plus haut, le facteur ^„^ r/„ç . . . 7„x est du degré

(/z— a)-h(/i — 6)-h-...+(/i — A)oumn — («-+-6-1- ... -f-i)

par rapport aux variables x, ... ; si donc nous faisons

voir que le second facteur \ a*J*. . ./^ est, par rapport

à ces mêmes variables x, . . . , du degré a -f- 6 -4- ...-;- >, il s'ensuivra que le terme de V que nous considérons est du degré m/i, et que V est lui-même de ce degré. Les coefficients Dj , p^j ... de Téquation (i) étant, par rapport à j:, . . . , d'un degi'é égal à leur indice, il en sera de même des sommes de puissances semblables 5|, ao» • • • de ses racines; cela résulte immédiatement des formules de Newton. Ainsi le degi'é d'une fonction symétrique simple telle que s^ est le même, soit que Ton considères. comme fonction de a, i, . . . , soit qu'on la considère

comme fonction de x, .... Enfin, \ a*h^. . .P" peut

s'exprimer en fonction des sommes i. par une formule entière qui est du degré a -{- 6 -i- . . . -i- X par rapport aux racines a, i, . . . , et qui est, par conséquent, aussi du même degré par rapport à x, . . . . Le théorème est donc démontré.

Nous avons admis comme évident que les termes de degré mn, qui se trouvent dans V, ne peuvent se détruire, tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équations (i) et (2). On peut, au surplus, mettre ce fait hors de doute en se référant, comme nous l'avons fait au n°71 , au cas particulier de deux équations dont les premiers membres sont décomposables en facteurs linéaires.

187. Si les coefficients des équations (i) et ( 2) ont dec valeurs déterminées, on pourra toujours leur appliquer le raisonnement du n** 18S, pourvu que ces équations contiennent la'plus haute puissance de l'inconnue qu'on élimine. On est ainsi conduit à la proposition suivante, qui est générale :

,|i6 COURS d'algèbre supérieure.

Le degré de V équation finale résultant de V élimination d'une inconnue entre deux équations qui en contiennent plusieurs est au plus égal au produit des degrés de ces équations»

Ce dernier théorème subsiste lors même que les équations proposées manquent de la plus haute puissance de rinconnue qu'on élimine.

Soient, en effet, deux équations entre deux variables J7 et j^, ayant respectivement m et n pour degrés et manquant du terme le plus élevé en j^- En considérant x et V comme des coordonnées rectiiignes, ces deux équations appartiendront à deux courbes, et le degré de l'équation finale résultant de l'élimination dejr sera égal au nombre des points d'intersection réels ou imaginaires de ces courbes. Par conséquent, ce nombre ne changera évidemment pas, si Ton rapporte les deux courbes à d'autres axes de coordonnées ; mais alors les nouvelles équations de ces deux courbes se déduisent des anciennes, en remplaçant x etjr par des fonctions linéaires ax-h bjy lix -f- i'j', et elles contiendront évidemment, Tune un terme en y^y l'autre un terme en^", à cause de l'indétermination de h et de V\ le degré de l'équation finale en X résultant de l'élimination à^y entre ces nouvelles équations sera donc au plus égal à mn \ par suite, le nombre des points d'intersection des deux courbes ne pourra surpasser m«, et il en sera de même du degré do l'équation finale qui résulterait de l'élimination de y entre les deux proposées.

La même démonstration s'applique au cas où les deux équations proposées contiennent, outro x et j^, d'autrc3 variables z, m, .... En effet, si l'on pose '

z^=ikx^ u=ih*Xy ..., et que l'on considère A", À', . . . , comme des paramètres, le

SBCTTOW II. CHAPITRE !• 4 '7

raisonnement précédent s'appliquera aux deux équations proposées qui ne renferment plus que x et y. Par où Ton voit que Téquation finale en Xy Zy u, . . . , résultant de l'élimination de j^, sera au plus du degré ntriy si Ton y remplace z, Uy . . . , par hxy Vxy . . . , et cela, quels que soient A*, V y . . • ; mais cette substitution ne change évidemment pas son degré, lequel ne pourra donc, en aucun cas, surpasser nui.

On verra plus loin qu'on peut fixer avec précision, dans chaque cas particulier, le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations données.

188. Quand on opère l'élimination dans le but d'obtenir les systèmes de solutions de deux équations à deux inconnues, il faut déterminer en outre les valeurs de l'inconnue éliminée, qui répondent à chaque racine de l'équation finale; on a vu au n° 73 comment on doit diriger le calcul pour remplir cet objet. Au reste, comme l'équation finale en x exprime que les équations proposées ont une racine commune j-, on peut déterminer celle-ci par le procédé suivant, qu'Abel a fait connaître dans le tome XVII des Annales de Mathématiques de Gergonne ( * )

Soient les deux équations

(2) F(r):=j^«-4-<7ir'*"'-^7ïr'*-'H-...-+-^«^ir-^-^»=o,

qui ont une racine commune j^i, mais qui n'ont que cette

stîule racine commune, et proposons-nous delà calculer.

Désignons par y^ , j2j •••>/« les n racines de l'équa-

(') L'édition des OEuvres d'Abei faite par Holmboe et publiée en 1889 ne renferme pas ce théorème; au contraire, la nouvelle édition faite par les soins de MM. Sylow et Lie, et publiée en 1881, présente cette application (^'voir le n" XIII).

S., ^Ig. sup. — I. 37

4i8 COURS d'algèbre supérieure.

lion (2), et portons-les dans le premier membre de Téquation ( i )/{j) ; on aura ces n résultats

/(ri),/(r.)»/(r.) /Unh

dont le premier est nul. Faisons ensuite les produits n — i kn — I de ces n quantités, et désignons généralement par R,4 celui de ces produits qui ne contient pas le (dLCteur f (j^) ; les quantités

Rt» I^t» ^3» • • • 1 1^1»

seront toutes nulles, à l'exception de la première. Ces quantités sont exprimables rationnellement, la première en fonction de y^, la seconde en fonction de j'2. • • • » 'a dernière en fonction dejn î en effet, R^, est une fonction symétrique des quantités ^j, j^2> • • •» Jny excepté j^., c'est-à-dire une fonction symétrique des racines de l'équation

jr»-«-f... .= 0;

Rj^ pourra donc s'exprimer sous forme rationnelle et entière en fonction dey^ et des quantités connues qui entrent dans les équations (i) et ( 2), de la manière suivante :

En Qutre, par l'un des procédés indiqués aux n°* 182 et 183, on pourra chasser de l'expression de R^ toutes les puissances de y^, supérieures à la {n — i)»ème^ ^^ g^^^^ que la valeur de R^ aura finalement cette forme

(3) R.* = po + piri* -^ pixi -+-... -h pn--o;

On voit que réqualion

Prt-ir"-» -4- Pn-2 J"-* H- . . . -f- pir -+- Po -■ O

a les /i — I racines y^^ J^3> • - • ? ^n ; on a donc

on a d'ailleurs

^1 +rt +rs -+-•.• +j» == — 7i»

et, par la soustraction, on obtient la valeur demandée dej^^i, savoir

pn-l

On voit qu'il suffit pour ayoir j^ , de calculer dans R^ les coefficients de/JT"* et dej^J^"*.

Théorème de Lagrange sur les conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.

189. C^est ici l'occasion de mentionner un beau théorème que Lagrange a démontré dans son célèbre Mémoire inséré parmi ceux de l'Académie de Berlin pour 1770 et 1771, et qui est relatif aux conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.

L'objet de ce théorème est de faire connaître les conditions pour que deux équations algébriques aient deux trois, etc. racines communes, quand on connaît la condition pour qu'elles en aient une. Voici en quoi il consiste.

Théorème. — Si Y = o exprime la condition pour que deux équations algébriques

(l) /(.r) zzrx'''.-»- ;7pr"'-« -f-/>j.r'«-* H- . . . -+-/7,„, ^ M-/?,„ = O,

aient une racine commune, V étant une fonction entière des coefficients p\, p^j > - ^i (]iy f/^y ' • "> ^^ 7"^ l'on désigne par DjJ V, Dj V les dériv^ées d'ordre ^ et d^ ordre V du polynôme V, prises la première par rapport à pmy Gt la deuxième par rapport à q^y l^^ conditions nécessaires pour deux racines communes seront

V = o et D„ V = o,

ou bien

V = o et D^Vn^o;

pareillement, les conditions nécessaires pour trois racincc communes seront

Vmo, Typ\^o, DJ^V=:o,

ou bien

V = o, D^V = o, DJV^o,

et ainsi de suite; en sorte quon formera les conditions nécessaires pour ^ racines communes, en joignant à l'équation V = o nécessaire pour une seule racine commune les [L — I équations obtenues en égalant à zéro les^i — I premières dérii^ées du polynôme V, prises par rapport au dernier terme de l'une des deux équations proposées.

Tel est l'énoncé que Lagrange a donné de son théorème , mais il est nécessaire d'ajouter quelques mots sur la manière dont cet énoncé doit être entendu. Ainsi les équations

V=:o, DpV = o, D},\z=o, ..., D]rV~o

expriment simplement les conditions nécessaires et sufGsantés pour que (* racines de Téquation (2) satisfassent à l'équation (i), en sorte que si l'équation ( a) a des racines égales, il sera possible de satisfaire aux [jl équations de

SECTION II. CHÀPITUB I. 42ï

condition écrites plus haut, sans que les premiers membres des équations {i) et (2) aient un diviseur commun du degré fx^ ce qui serait la condition nécessaire pour que les équations (i) et (2) eussent réellement jx racines communes. Pareillement les équations

Vr=o, Dç\ = o, DJV=o, ..., Dj;;^*V = o

expriment les conditions nécessaires pour que fi racines de Féquation (i) satisfassent à l'équation (2), en sorte que si l'équation (i) a des racines multiples, on pourra satisfaire aux équations de condition précédentes, sans que les équations (i) et (2) aient réellement /ut racines communes.

Il faut remarquer, en outre, que le dernier terme p^ ou q^, par rapport auquel sont prises les dérivées de V, doit être considéré comme un paramètre indéterminé dont tous les autres coefficients sont indépendants.

Cela posé, passons à la démonstration du théorème. Soient a, &, c, . . . , Âr, / les n racines de l'équation (2),

et posons

V est une fonction symétrique des racines de l'équation (2), dans laquelle les coefficients sont des fonctîii^s entières des coefficients de l'équation (i); on pourra donc l'exprimer par une fonction entière des coefficients des équations (i) et (2).

Les racines a, i, c, . . . , Âr, / étant indépendantes de p^, les quantités f{<^)yf[^)y • • • > /^(O ^^^^ ^^^ fonctions linéaires de p^ et leurs dérivées sont toutes égales à l'unité; donc D^^V est égale à la somme des produits m — i à m — I des quantités

/(«)■/(*) fW,f{ih

422 couns d'algèbre supérieure.

pareillement D* V est égale à la somme des produits m — a à m — 2 des mêmes quantités et généralement Dî, V est éffale à la somme de leurs pro-

duits m — i km — i.

Par conséquent, Téquation qui a pour racines les n quantités

est

Or, pour que p racines de Téquation {2) satisfassent à Téquation (i), il faut et il suffit que Féquation en X ait [i racines nulles, c'est-à-dire que Ton ait

ce qui démontre le théorème énoncé.

La démonstration qui précède est plus claire et plus précise que celle qui a été donnée par Lagrange. Il semble effectivement, au premier abord, par le raisonnement de Tauteur, qu'il soit permis, dans l'énoncé du théorème, de substituer aux dérivées de V, prises par rapport au dernier terme de l'une des équations proposées, les dérivées prises par rapporta un coefficient quelconque, ou même par rapport à un paramètre dont un ou plusieurs de ces coefficients seraient fonctions. Mais il est aisé de voir qu'on obtiendrait de cette manière des équations de condition trop générales.

Par exemple, p^. étant le coefficient de x* dans /(x), et tous les autres coefficients étant indépendants

de Pj^p les équations

peuvent avoir lieu, quoique les équations (i) et (a) n'aient qu'une seule racine commune. En effet, f[à), f{h)j . . 'y/îl) sont des fonctions linéaires de p^( et leurs dérivées par rapport à p^^ ont respectivement pour valeurs a', i', . . . , /'; donc, à cause de

V=/(a)f[b).../(l), on aura

Il est évident, d'après cela, que les équations de condition

V = o, Dp .V=o

seront vérifiées si chacune des équations proposées a une racine nulle.

Exemple. — Appliquons le théorème de Lagrange aux deux équations

x^ -\- /?! X* H- ^j j: H- /jj = G, or' -f- ÇTj .r -4- 7j = o.

En appelant a et i les racines de la seconde équation, on a

— ^l — ^ji^\Px-^(^]^i—^q\]pt—{q] — '^fii9t)p^-^9lp' — 9i 9tPiPi H- (<7î — ^qt)piPi + çtpl — qiPiPz -+- pV l't

Dpj V — -~q\-^ 3<7i y, -4- [q\ — iqi)pi — qxPt -h 2y?,.

La condition, pour que les équations proposées aient une racine commune, est V= o; par suite les condi-

4^4 COT]RS d'àLCEBRB SUPÉRIEURE.

lions pour deux racines communes seront V = o, DpjV = o.

En éliminant p^ entre celles-ci, il vient

[q\- ^ai)[q\ — 9t — qxPx-^ PtY^o-,

cette dernière se décompose en deux autres. Si Ton prend

on exprimera que les deux racines de l'équation du second degré sont égales entre elles, et ces racines satisferont à l'équation du troisième degré, en vertu de la condition V = o. Si l'on prend, au contraire

l'équation Dy^jV = o se réduit à

Çifî— QtPi 4-/?3 = o.

Les deux équations précédentes expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que la première des équations proposées soit divisible par la seconde

Méthode de Tschirnaûs pour faire disparaître autant de termes que Von veut d'une équation.

l90. On peut rattacher à la théorie qui nous occupe la méthode élégante que Tschirnaûs a donnée dans les Actes de Leipsick pour i683, et qui sert à faire disparaître d'une équation autant de termes que l'on veut. Cette méthode consiste à transformer l'équation proposée en une autre dont la racine soit une fonction rationnelle de celle de la proposée, ou, si l'on veut, une fonction entière de degré inférieur à celui de l'équation proposée, car c'est à cette forme (n° 182) que peut se ramener la fonction rationnelle la plus générale.

SKCTIOW II. CHAPITRE I.. 4^5

Soit

(1) ^"^ -h Pi^""-' -h p^x'«-*-h . . ,-h Pn^i:r ^ p^ = O

une équation du degré m, et posons

(2) ^ = ao-ha,ar-i-a,ar*-h. . . 4- «„, x'»— ' -|- a^-r»,

ao9 aty . . ., désignant des indéterminées, n un entier inférieur à m, L^équation finale en^, qui résulte de l'élimination de X entre les équations (i) et (2), sera évidemment du degré m, puisque y a autant de valeurs que X. Cette élimination peut se faire par les fonctions symétriques, de la manière suivante : en élevant l'équation (2) aux différentes puissances 2, 3, . . . , m, et en ayant soin de rabaisser les exposants de x au-dessous de m, à Taide de Téquation (i), on obtiendra une suite d'équations de la forme

/ x^= *o ■+- ^i-^ -^ 6,x»-f- . ,.-hb,

nf-l'

&oy ii, ... sont des fonctions homogènes et entières du deuxième degré des indéterminées Uq, «i, ... ; pareillement Cq, Cl, ... sont des fonctions homogènes et entières du troisième degré de ao? «i» • • • ^ et ainsi de suite. Si, maintenant, St, S2, ... désignent les sommes de puissances semblables de racines de l'équation (i); S|, Sa, . . . , celles des puissances semblables des racines de l'équation en y, les équations (2) et (3) donneront

Si = ma^ -f- a, jj -I- flj.vj -f- . . . -f- «;,, 5rt-, 4- <i»5„,

St = mb^ -4 ft,5i H- ^,^1 H- 4- b^^^Sfn-^^,

Sm^'W^oH-^l^l-t-Xif,-*- -f- k^^^Sn^^x,

Connaissant ainsi les sommes de puissances semblables des racines de Téquation en r, on pourra former cette équation.

On peut y arriver encore de la manière suivante. Ou résoudra les équations (3) par rapport aux puissances X*, x^, . . . , X'"""* , et Ton portera leurs valeurs dans l'équation (2). Ce procédé a l'avantage de donner la valeur de X exprimée rationnellement en y, en sorte qu'on connaîtra chaque racine de l'équation proposée, quand on aura résolu l'équation finale en y.

Représentons par

cette équation en j^, où ^i, ^a, . . . , qm sont fonctions entières des indéterminées ao, a^y . . . , et qui exprime la condition pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune. Je dis que de cette seule équation (5) on peut déduire la valeur de x qui correspond à chaque valeur dej^, et même la valeur d'une puissance quelconque de X. En effet, désignons par Y ce que devient le second membre de la formule (2) quand on y remplace le coefficient a^ par n^-^h, et soit

(6) Y-'-^Q^Y—i+QjY— M ... + Q,„-tT-^Q^ = o

l'équation de laquelle dépend Y. Chaque coefficient Q/ est une fonction entière de a^-f-A, et, si on l'ordonne suivant les puissances de /i, on aura évidemment

D^ q., T>1^ q., . . . représentant les dérivées successives* du polynôme q. par rapport k a^; on a d'ailleurs

¥=/ -f- /iJri^.

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation (6), celle-ci de-

SECTION n; CHAPITRE I. 4^7

^'^lendra identique, quel que soit A, quand on attribuera à a: et à y leurs valeurs simultanées; en conséquence, les coefficients des diverses puissances de h doivent être nuls. En égalant à zéro la partie indépendante de A, on retrouve Téquation (5), et si Ton égale à zéro les coeffîeients de la première puissance de A, il viendra

-Da^(r'"-f-^ir"*-'

et.

par suite,

^a^X"'-^qxX""

■.-+-^m-ir^-^m)

aH*:r=

myn^i 4- [m —

O^ir

aura.

en particulier,

xz=z

On voit donc qu'il suffira de résoudre Téquation (5) pour avoir résolu par cela même Féquation (i).

Cela posé, on peut disposer des indéterminées ao, «1 , . . . , de manière à faire évanouir n termes de Téquation en j-; par exemple, si Ton veut faire disparaître les n termes qui suivent le premier, il suffira de poser

Si = o, Sj = o, . . . , Srt = G.

Or, en se reportant aux équations (4), on voit que Sj est du premier degré par rapport à «©> «o • • ■ > que S2 est du deuxième degré, S3 du troisième, etc., S^ du «'*"*. Donc, d'après le théorème de Bezout (n<*70), la détermination de ces indéterminées, dont l'une peut être prise arbitrairement, dépend d'une équation du degré

et, si Ton voulait faire disparaître de l'équation (5) tous

4^8 COmS d'algèbre SUPéRIEURE.

les termes, à rexception du premier et du dernier, le problème dépendrait d'une équation du degré

C'est aussi à la résolution d'une équation de ce degré que se trouverait ramenée celle de l'équation proposée, car l'équation (5), n'ayant alors que deux termes, pourrait être immédiatement résolue.

191. La transformation de Tschirnaûs donne la résolution algébrique des équations du troisième et du quatrième degré. En effet, soit d'abord l'équation du troisième degré

a:* -h par^ -\- qjn -+- r = o;

on posera

et l'on formera l'équation finale en jr, savoir

^ -4- Pj* -h Q j -h R = G.

On déterminera les rapports de deux des quantités a©, Ui, a^ k la troisième, au moyen des équations P = o, Q ~ o, qui sont, l'une du premier degré, l'autre du deuxième ; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer les rapports dont il s'agit en fonction des coefficients de la proposée. L'équation enj^ se réduisant alors à

on en tirera ces trois valeurs

a et 6 désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité. Connaissant ainsi les trois valeurs de ;^, on aui'a facilement, parce que nous avons dit plus haut, les li^ois valeurs de x. D'après la proposition du n° 182, la trans-

SECTION IT. CHAPITTIE 1. 4^-9

formation que nous venons d'effectuer revient à celle dont nous nous sommes occupé au n° 63. Soit enfin Téquation du quatrième degré

.r* -4- pjn^ H- q.r'^ -*- rr -r- .v = O ; on posera, comme précédemment,

et l'on aura une équation en y telle que

yk t p^3 | Q^l -f R J -f- S — O.

On déterminera deux des quantités a©, «i, «2 au moyen des équations P = o, R = o, qui sont, Tune du premier degré, l'autre du troisième; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer deux des inconnues, en fonction de la troisième et des coefficients de la proposée. L'équation en j^, se réduisant à -

elle pourra être résolue^ car elle s'abaisse au deuxième degré en posantj^^ = -z. Connaissant les quatre valeurs de j, on formera immédiatement l'es expressions des quatre racines de l'équation proposée.

Application de la méthode de Tschirnaûs à l'équation du cinquième degré.

192. M. Jerrard, géomètre anglais, a démontré qu'on peut faire disparaître d'une équation quelconque le deuxième, le troisième et le quatrième terme en résolvant une seule équation du troisième degré. Nous allons établir ici ce résultat important; à cet effet, nous commencerons par démontrer la proposition suivante :

430 COTJRS d'algèbre SUPÉRIEURE.

THéoRkMB. — Une fonction homogène et entière du second degré de n ^variables est la somme des carrer de V fonctions linéaires^ le nombre v étant égal ou inférieur à n.

Soit V une fonction homogène et entière du second degré des n variables

•»^0' ^\y •''t» • • -» •'^rt-l'

Si /i = I , la fonction V ne dépend que de la seule variable x©, et elle est de la forme e© J^î ou (jr© ^)*, s» étant un coefficient numérique.

Dans le cas de /i> i, si V renferme le carré de l'une des variables, x© par exemple, et qu'on l'ordonne par rapport à x©, on aura une expression de la forme

V^ «o'^J-^- 2iP.ro -h Q;

e© est une constante, P est une fonction linéaire des n — I variables Xj , X2, . . • , J^w-i ; enfin Q est une fonction entière et homogène du second degré des méme> variables. Si donc on pose

on aura

V = CoX;-f-V„ ou V = (XoV^/-hV|,

V| étant une fonction entière et homogène du second degré, mais qui ne renferme que n — i variables, au plus.

Vmaro^i 4- P.ro + Q^i -+- R,

,(xo+^)(-.

V = lo ( ^0 +- - 1 ( ^1 H- ~^^ -h R — --^

et si l'on pose

puis

il viendra

V = (Xov/i;^/ + (xW~ «;)V V,;

Xo et X| sont des fonctions linéaires qui peuvent renfermer les n variables Xo, a:<, . . . , :r„<, et Va est une fonction entière et homogène du second degré qui ne renferme, au plus, que n — 2 variables.

Ainsi la fonction V, qui dépend de n variables, est ramenée à la fonction Y ^ , qui n'en renferme que n — i au plus, ou à la fonction Vj, qui n'en contient pas plus de n — 2, en mettant à part un carré dans le premier cas et deux dans le second; on peut opérer de la même manière sur la nouvelle fonction, et en poursuivant ainsi, on mettra V sous la forme suivante :

V r^ 'Xo V^i^/ + (X, v/ï7;* -h . . . -f- (X, V^iZ; A

co, S|, . . . , 6^1 désignant des coefficients numériques^ et Xo, Xi , . . . , X^i des fonctions linéaires des variables

11 est évident que le nombre v est égal ou inférieur à n, et que Ton a v == n quand les coefficients numériques de V sont des quantités indéterminées.

EXEMPLE. — Si Ton applique la méthode précédente

43a couHs d'algèbre supérieure.

à la fonction

V — A.r*-t-AV-<- A'^s^-h 2BJ2-4- ^.B'jrz-^lB'arr

des trois variables Xy j , z, dans laquelle les coefficients numériques A, A', ... demeurent indéterminés , on

trouvera

V=aX*-h6Y«-h7Z*,

en faisant, pour abréger,

X = Ax-{-BV-+-B'z,

Y =z (A A' - B'^*) r H- ( AB - B' B'') z, Z=z, et

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