AA' A" 4- 2 BB' B^^ — AB' — A^ B'» — A*^ B^« AA' -"B

193. Passons maintenant à la démonstration du théorème que nous avons en vue. Soit l'équation

jr'« -h^jo:'"-* -4- /?jx'»-« -f- . . . -hp«,x -+-/?« = G,

et posons

^ = flo -H ûj « -4- fl, .r* -f- «3^:' -h ^4^:*.

S'oit aussi

Téquation en y. D'après ce qu'on a vu au n® 190, la sommé des puissances p**"»«» des racines de l'équation en y est une fonction homogène et entière du degré p des cinq quantités a^, a^, a2f a^j a^; par suite, les coefficients ^,> ^2> • • • Ç^ sont aussi des fonctions entières et homogènes des mêmes quantités, elles degrés de ces fonctions q sont précisément égaux à leurs indices. Cela

posé, pour faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme de l'équation en y^ il faut faire

La première de ces équations est linéaire ; tirons-en la valeur de «o? en fonction de a^^a^^ a^^a^^ pour la porter dans les deux autres, et supposons que celles-ci deviennent

Les premiers membres de ces équations sont des fonctions homogènes des degrés 2 et 3 respectivement des quatre quantités «i, «2, a,, ^z*. Or, d'après le théorème du n** 192, l'équation 7',=^ o peut se mettre sous la forme

Jy gyhyh étant des fonctions linéaires, et cette équation sera satisfaite en posant

p^g^ = o, >4«-f-X*=o, ou

Ces deux dernières équations sont linéaires; si l'on en tire les valeurs de ai et de «a pour les porter dans l'équation q\ = o, celle-ci deviendra

et son premier membre q\ sera une fonction homogène et du troisième degré des deux quantités a^ et /Z4. L'une de ces quantités peut être prise arbitrairement et l'autre dépend, comme on voit, d'une équation du troisième degré; les quantités a^ et a^ étant déterminées, on en conclura les valeurs de ao, a^ ^29 et l'équation en y deviendra

r'" ■+- ^*r'""* -H ... H- Çm-lX -»- ^m = O. S — uélff. sup^ I. 2b

434 COURS D'ALOi:BUE SUPÉRIEURir.

Par la même transformation on peut faire disparaître le deuxième, le troisième et le cinquième terme d'une équation quelconque; seulement, la détermination des arbitraires ao, a^, a^y a^j a^ exige la résolution d'une équation du quatrième degré au lieu de celle d'une équa> tion du troisième degré.

Enfin, si à la transformation de Tschirnaiis on joint la transformation qui consiste à remplacer Tinconnue par son inverse, on voit que, par le moyen d'une seule équation du troisième ou du quatrième degré, il est possible de faire disparaître d'une équation quelconque les trois termes qui précèdent le dernier ou bien les deux qui précèdent le dernier avec celui qui précède le dernier de quatre rangs. Et, dans le cas particulier de l'équation du cinquième degré, il est clair qu'on peut faire disparaître ainsi trois termes quelconques entre le premier et le dernier. Ainsi, par la transformation dont il s'agit, l'équation du cinquième degré peut toujours être ramenée à l'une quelconque des quatre formes

X^ 4- pa^ -f- 7 =rr o,