FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES A LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Formule de Lagrange,

194. Lagrange a fait connaître, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1768, et plus tard dans le Traité de la résolution des équations numériques , Note XI, une formule remarquable qui donne immédiatement l'expression de la somme des puissances semblables, d'un degré quelconque, des racines d'une équation. Nous allons établir ici cette formule en supposant avec l'illustre auteur quei'on ait mis l'équation proposée sous la forme

u désignant une constante et /{x) étant une fonction entière

Ao -f- Al a: H- A,a?" -f- Ajo:' -f- . . . ,

dont nous représenterons la dérivée par /'(x), conformément à l'usage {*),

On sait (n® 172) que, si a, &, c, . . . , / sont les racines de l'équation (i)^ la somme

(*) Dans ce Chapitre et dans les suivants, noas supposerons connus les principes fondamentaux du Calcul différentiel et du Calcul intégral, et nous ferons usage des notations généralement admises pour représenter les dérivées et les diirérentielle&.

436 €OURS d'algèbre supériecre.

sera le coefficient de or" dans le développement de la fonction

tt — ;r 4-/(.r)'

en série ordonnée suivant les puissances croissantes de or. Soit la fonction plus générale

OÙ (f{x) désigne un polynôme ayant pour valeur

<p(.r) =Bo -h Bi j: h- B,x«H- B3.r»^- . . .,

et cherchons le coefficient de j:" dans le développement de cette fonction. Si Ton commence par développer suivant les puissances croissantes dey(a:), il viendra

et la série contenue dans le second membre de cette formule sera convergente pour toutes les valeurs de a: telles

que le module de — — — soit inférieur à l'unité.

Considérons d'abord le premier terme du second membre, on a

et, si l'on multiplie de part et d'autre par le polynôme ©(j:), on trouvera que le coefficient de x^ dans le développement de — — '— a pour valeur

Bo , B,. B5 Brt

OU

Bo-hBjw4-B,««-f-. . .-4-B„tf'»

en sorte que ce coefficient pourra être représenté par

pourvu qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur.

Considérons maintenant un terme quelconque du second membre de Téquation (a), celui qui contient la puissance i de f{jo) et qui a pour valeur

D'après ce qui a été dit plus haut, le coefficient de x^ dans le développement de

est égal à

pourvu qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur. On a donc, avec cette restriction,

le signe \ s'étendant à toutes les valeurs entières null<î

ou positives de /z. Et, comme la diiférentiation relative à u ne peut introduire de puissances négatives de u dans les termes qui n'en contiennent pas, on aura, en prenant les dérivées d'ordre i des deux membres de l'égalité précédente,