du
• /^ir ï
Zr(>, + i)...r{X,„-i-i)//'^-
-fr-Am ^/At-4-...-+-Xw
tibles de vérifier les équations de condition (5) et (6). En faisant successivement
l'équation (7) fera connaître la partie à conserver dans les différents termes du second membre de l'équation (3), à partir du troisième. Mais je dis, de plus, que le second membre de l'équation (7) exprimera, pour ï = i , la partie à conserver dans le deuxième terme de la valeur de 5^, et que, pour i == o, ce même second membre se réduira au
premier terme — de la valeur de j„. En effet, pour 1=1,
les exposants X2, ^3, ..., 1^ sont nuls, à l'exception de l'un d'eux, qui est égal à i; si c'est Xp qui est égal à i, î| est égal à n — p d'après la condition (6)5 le second membre de l'équation (7) se réduit alors à
où le signe \ s'étend aux valeurs de p depuis p = 2 jusqu'à p = m si m est moindre que tï, et jusqu'à p = n si m est plus grand que n. On voit que l'expression précédente représente la somme des termes de — n -^^ f{^> qui contiennent u en dénominateur.
Enfin, pour i = o, les exposants X2, X^ ,..., X,„ sont tous nuls; ?.< se réduit k n k cause de la relation (6); et, à cause de nT[n) = T (/i -4- i), le second membre de
l'équation (7) se réduit au terme unique ~. qui est le
premier terme du second membre de l'équation (3).
Le second membre de l'équation ( 7 ) ne renferme pas explicitement l'indice i ; donc, d'après ce qui précède, ce second membre exprimera la partie à conserver dans les
différents termes qui composent le second membre de inéquation (3), pourvu que Ton fasse abstraction de la condition (5) et qu'on n'ait égard qu'à la condition (6). Ainsi Ton a
[\ -f- 1). . .r{X,„-h i) ^>«-»----+-Xm ^x,-»-.-Va„
ou, en remettant au lieu de m,
Pi
le signe N s'étendant, nous le répétons, à toutes les valeurs entières nulles et positives des exposants X<, i^v'-i Xto susceptibles de vérifier la condition
La formule (8) fait ainsi connaître immédiatement, en fonction des coefficients, la somme des puissances /i*^™** des racines d'une équation -, elle a été donnée par Waring, dans ses Meditationes algebraicœ (*). Waring ne fait pas connaître la méthode qui l'a conduit à sa formule, et il se borne à en vérifier l'exactitude.
Application à Inéquation du deuxième degré.
