Ecrivons Téquation du deuxième degré sous la forme
Pour avoir la somme des puissances /i»*™" des racines, il faudra faire, dans la formule ( 8 ) du numéro précédent,
Pi = '-P> Pm=Pt = qy
(*) Editio tertio, p. i.
S. — Alg. sup,, I. 29
4So COURS d'aLCÊBBE SUPÊniETJRP.
sî Ton pose, en outre, ^2=fJ^î on aura X, =72 — 2^. 0? trouve alors cette valeur de j^,
(—i]^nr{n— a]
p^-^V-qV-,
^" ~2dWn — ^^"-f-i )"r [p -Ti)
le signe \ s*éteudant aux valeurs de fx
jusqu'au plus grand entier contenu dans - • En remplaçant les r par leurs valeurs, il vient
^ ' 1.1. . .fl i- I
On déduit immédiatement de ce résultat la valeur du polynôme que nous avons désigné par V,^ au n° 100. En effet, V;, est une fonction entière de x définie par les deux équations
Il s'ensuit que V„ est la somme des puissances /i» ~«« des racines de l'équation
r=0, OU r* — x^-hlrrrO;
par conséquent la valeur de ¥„ se déduira de celle de 5„ écrite plus haut, en faisant p= :t:et 9 = i -, il vient ainsi
formule qui coïncide avec celle que nous avons obtenue au n° 109 par une analyse différente.
Sur l'expression d'une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
198. Waring a donné, dans ses Meditationes algebraicœ{*), une formule qui fait connaître l'expression d'une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines. Nous allons établir ici' cette formule remarquable.
Soient
les m racines d'une équation de degré m, et
«Il «s» . • • » «/
des entiers positifs ou négatifs.
Nous conserverons les no^tions dont nous avons fait usage dans le Chapitre précédent, en sorte que ^^ représentera la somme des puissances de degré ai de toutes les racines et que le symbole
désignera la fonction symétrique d'ordre i, dont tous les termes se déduisent de x*' xj'. . .x*', en faisant toutes les permutations possibles des racines. Nous supposerons d'abord que les exposants a soient inégaux, et alors on
(') Edieio tertia, p. 8. 29.
452 COURS d\lgebre supérieure.
aura
Cette formule permet de calculer les fonctions symétriques d'ordre i quand on sait former celles de Tordre I — I ; on en déduit
= ^a,*a,^a, — (^a,-^a,-f-a,-+- *a,*a,-»-a,-T* ^aj-^ai-t-aj"*" ^^a,-t-a«+at«>
— * a, * otj *a> *ot4~~ I . I
"*- (^ai4-ai*a3-f-a4"+' ^a,-«-a,^as-HX4"*" *a,-wx4*aH-a«) 1 . J*a,-+-at-4-a, H314
On peut écrire ces formules d'une manière plus abrégée et découvrir la loi de leur formation en faisant usage de la notation suivante : partageons les i indices
en divers groupes. Soient X| le nombre des groupes qui contiennent un seul indice, \% le nombre des groupes qui
contiennent deux indices, . . . , ij- le nombre des groupes qui contiennent i indices^ on aura
on voit que i/ doit être égal à zéro ou à l'unité, et si X^ = i , tous les autres X sont nids. Cela posé, ajoutons entre eux les indices a de chaque groupe et désignons par
les sommes obtenues -, enfin considérons le produit
faisons toutes les permutations des indices a,,a,,...,aj qui font acquérir à ce produit toutes les valeurs distinctes dont il est susceptible, ajoutons tous les résultats et désignons par
T(Xi, >2» • • •» X|') la somme obtenue qui sera une fonction symétrique des indices a.
D'après celte notation, les formules écrites plus haut deviennent
^xîi.rïi^J' = T(3,0,o)— T(i, i,o) -H .aT(o, O, l),
V.rJ«.r»»xa»jcJ*z=T(4,0,0, o)— T(2, i, o,o) (2) ^ +2T(i,o, 1,0)— 2.3T(o, 0,0, ï)
Vr«.jr;«ar?«a:ï*.r«*=T(5, o, 0, o, o) -~T(3, i, o, o, o) 4- 2T(2,o, i,o,o)-4-T(i,2,o,o,o) — 2.3T( 1,0, 0,1,0) —2T(o,i, 1,0,0) -f-2.3.4T(o, o, o, o, i),
et il est aisé de vérifier qu'on a généralemeut
le signe ^ du second membre s'étendant à toutes les valeurs de Xf, Xg, ..., X, qui satisfont à la condition
et le symbole T[ijl) désignant, comme au n** 196, le produit des jLf. — I premiers nombres entiers.
Au moyen des formules (2) on vérifie l'exactitude de la formule (3) pour i==2,3,4î^; donc, pour établir la généralité de celle-ci, il suffit de prouver que, si elle a lieu pour i = k, elle a lieu aussi pour i = fr-h i. Admettons que l'on ait
le signe \ du second membre s'étendant à toutes les valeurs des entiers X, pour lesquelles on a
>, -h 2>2-^ 3X3-4-. . .-h ^Xa== ^• Il est évident que l'expression de
sera formée de termes tels que
T(>i, >j, . . . , X;t> ^A-hl)>
OÙ l'on aura
nous allons chercher à déterminer les coefficients qui iiiulliplient ces différents termes.
Supposons d'abord que X| ne soit pas nul, ce qui exige que Xk^i le soit 5 on aura
Cela posé, le terme en
que nous considérons, proviendra en partie [formule ( i )]
dé la multiplication de 5gj|+, par \ xj» ^J» . . . j^J*; et,
comme les termes de ce produit ne peuvent évidemment se réduire avec ceux qui proviennent du changement de «1 en «i-f-a^+i ou de «j en «i-f-ûfA^.!, ou, etc., il est clair que le coeflGcient de
T(Xi, >„ . . ., >;t» o)
dans \ u:*' x^* . . . x^'^^} sera égal au coefficient de
dans \ a:*» x^*, . . xj*, c'est-à-dire égal à
ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule (3) quand on y faiti = Ar-f'i.
Considérons maintenant le terme en
dans\ x°l'x^ . . . or^'arjf*^*;. Ce terme provient tout entier [formule (1)] des résultats que Ton obtient en changeant, dans — \ x^' a:*» . . . x|% a< en ai + aA-i-i, ou
456 COURS d'algèbre supériedre.
a, ena^-l-aA+t, ou, etc. Les termes de l'expression de — \ x^' x** . . . xj*, qui concourent ainsi à former le terme que nous considérons, sont évidemment de la forme
OÙ g peut avoir toutes les valeurs telles, que X^^., ne soit pas nul, et le coefficient correspondant sera, d'après la formule (4) , ( , )*+i-x,-x,-...->., r [^)\ r ( 3 )^. . . . r (^) V« r (^ ^- 1 ) V»-* . . . r [A)h.
Or chacun des termes de
contient, d'après sa définition même, un ou plusieurs facteurs de la forme
OÙ le nombre des indices a est égal kg] si, dans les facteurs de ce f^enre, on remplace successivement «t J»ar «i-H^A+n puis «2 par «j-f-aA+i, puis, etc., et qu'on réunisse ensuite tous les résultats, chaque terme sera répété g'fois dans la somme. Il s'ensuit que le terme en
donnera, dans \ x*» xj' . . . xj*^ xj^; , une partie des termes contenus dans l'expression
T(o, >,, ..., >^, V-»-i» •••» ^*» ^)» et que ceux-ci auront pour coefficient
g ( . r ) A-+i-rX.-x,-...->i. r (2)X,. . . r (g') V* r (g' -t- 1.) V«-* . . . r {A']h, on
SECTION II. CHAPITRE II. ^Sf]
à cause de gT{g) =.r(g^4-i). Les termes qui peuvent naître des diverses valeurs dont g est susceptible ne pouvant se réduire entre eux, le coefficient de
T(o, >i, \, . . ., ).A., o) dans\ xf x\^ . . . xf' x^^^^ sera
( __ , jAr+i-x.- ...-X, r ( 2 )^a r ( 3 )^» . . . r { X- )K
Ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule (3), eny faisant i = Âr 4-1.
Considérons enfin le terme en
T(o, o, o, ..., o, i) dansN x^' xj' . . . xl^x^^j^{. Il se forme au moyen du seul
terme
de — \ j:** x^* . . . xj*. Il faut effectivement, pour cela,
ajouter successivement a^^^j à chacun des indices qui entrent dans ce terme, et réunir tous les k résultats qui sont évidemment égaux entre eux. On voit alors, à cause de kT[k)= r(A-4-i), que le terme considéré a pour valeur
ce qui achève de démontrer l'exactitude de la formule (3).
199. Il est aisé de trouver le nombre N des termes contenus dans la fonction que nous avons désignée par
T(Xi, >2, . . . , >/).
Effectivement chacun de ces termes correspond à une certaine distribution des indices
458 COURS d'aLGÈTJHE StyPÉRlEDRB.
en X| -}-Xj -^ . . . -}- A, groupes, et 1* désigne généralemen*. le nombre des groupes qui renferment Ar indices. Écrivons, sur une même ligne, tous les indices a, de manière que ceux qui appartiennent à un même groupe se trouvent placés à côté les uns des autres, en commençant par les groupes d'une seule lettre, mettant ensuite les groupes de deux lettres, et ainsi de suite. On pourra former, de cette manière, N permutations ou arrangements des i indices qui correspondront respectivement aux N termes de T. Si maintenant on fait dans chacun de ces N arrangements toutes les permutations possibles des indices qui composent chaque groupe, sans altérer l'ordre des groupes et sans faire passer aucun indice d'un groupe à un autre, le nombre total des arrangements qu'on obtiendra sera égal à
Nr(2)>.r(3)^a...r(/)>^-ir(/-hi)\-.
Enfin, si, dans chacun des arrangements ainsi formés, on permute entre eux, de toutes les manières possibles, d'abord les X, groupes qui contiennent chacun un indice, puis les ij groupes qui contiennent deux indices, puis, etc., sans altérer l'ordre des indices qui composent un môme groupe, le nombre de tous les arrangements ainsi obtenus sera Nr(2)\r(3)^a...r(/-+-i)^ir(>i-f-i)r(X,-4-i)...r(>/-M).
Or il est évident qu'en opérant ainsi on a formé toutes lesr(i-l-i) permutations des i indices sans en omettre ou en répéter aucune. Le nombre précédent est donc égal à r(z4-i), et, par suite, on a
r(2)^tr{3)^...r(/-M)^.r(>i-hi)r(X,H-i)...riÀ,-f-i) 200. La formule (3) suppose que les i indices ai, as, . . . , a/
sont inégaux. Supposons maintenant que parmi ces indices il y en ait /jt< égaux à a,, (uia égaux à «j, . . . , enfin (jL/s égaux k (X/('^i\ est évident que le second menbre delà formule ( '6 ) devra être divisé par
ainsi que nous Tavons déjà dit au n** 173.
Supposons, en particulier, que les i indices soient égaux à un même nombre a : on devra diviser le second membre de Téquation (3) par r{i-+-i)5 d'ailleurs, chacun des N termes de
T(>i, >2, . . . , >/) se réduit à
^a *4a- • -Madone cette fonction a pour valeur
ou
la formule (3) donne alors
Z-' ^ ZrfiV2>..../^.r(Xi-M)r(x,-f-i)...r{x,-+-i) « *«•••'«'
le signe \ du second membre s'étendant, comme précédemment, aux valeurs nulles ou positives des entiers X,, Xg, ... ,X,- susceptibles de vérifier la condition
4^'o couns d'algèbre supérieure*
Détermination des coefficients d'une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines,
201. L'analyse précédente donne immédiatement Texpression des coefficients d'une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
Soit Téquation
et représentons, comme précédemment, par
ses m racines. On a
^,==( — l)'\arix,...jr,;
par suite, la formule (5) du n® 200 donnera, en y faisant a = I ,
iL^i^.2^..3^...*^r{>i-M)rt).,4-i)...r(>/-M; * '"" "
le signe Ns'étendant toujours aux valeurs nulles et positives des exposants X qui vérifient la condition
En faisant i = i , 2, 3, 4? • • • > on trouve I j I
Il est aîsé de vérifier ces résultats au moyen des formules de Newton.
Méthode nou%^elle pour former le dernier terme de l'équation aux carrés des différences,
202. Le produit des carrés des différences des racines d'une équation prises deux à deux, ou, ce qui revient au même, le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, est une fonction entière des coefficients de réquation proposée, qui possède plusieurs propriétés remarquables et qu'on a occasion de considérer dans diverses questions d'Analyse supérieure. Nous avons fait connaître au n'* 179 le procédé de Cauchy , par lequel on peut calculer la fonction dont il s'agit, pour une équation de 'degré m, lorsqu'on connaît la valeur de cette même fonction pour une équation de degré m — i . Je me propose ici d'indiquer un procédé nouveau et d'une grande simplicité pour résoudre la même question.
Soit l'équation de degré m
(l) œ'^-^p.x^-'^ 4-pj^'»-«-+-/?3^'~-a-h ... -^Pm-.,x-^p^=zo,
et désignons par V^ le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines. Il résulte de la théorie des fonctions symétriques que V^ est une fonction entière des coefficients pt, p2, • • . , Pm, et que chacun des termes de cette fonction renfermera m(m — i) dimensions, si l'on considère chaque coefficient p comme ayant autant de dimensions que son indice contient d'unités. D'aprês cela, la valeur de V^ ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de pm aura la forme
A| , Aa, . . . , Am étant des fonctions entières depi,p2, ..,, Pm^if dont la première est une simple constante.
Désignons par V^-^ le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines de Féquation
Lorsque pm est nul, la fonction V^ se réduit à A^ ; d'un autre côté, l'équation (i) se déduit alors de l'équation (3) en multipliant celle-ci para:, c'est-à-dire en y introduisant une racine nulle. Il s'ensuit évidemment que Ton a
Gela posé, il est évident que la fonction V^ ne changera pas, si l'on augmente chaque racine de l'équation (i) d'une même quantité h\ or, par ce changement, les coefficients Pif p2} - ' -, Pm prennent des accroissements
A/'ii ^Pi^ •••> A/'m-n ^Pm
qui s'évanouissent avec h, et dont les termes qui contiennent ft à la première puissance sont respectivement
mh, (ni — i)pih, [m — i)p^h, ^Pm-i^y Pm-i^-
L'accroissement correspondant AV^ de V^? savoir :
AV ^^^ An U. ^^- An ^ U- ^^- A. ^
OPi Opt ÔPm
est nul, quel que soit A, et, par conséquent, le coefficient de la première puissance de h est identiquement nul ; on a donc
On peut obtenir, d'une autre manîère, cette équation qui va nous conduire à la valeur de V^. Si, en effet, on fait disparaître le second terme de l'équation (i) et qu'on exprime, par le moyen des différentielles partielles, que Vm est une fonction des coefficients de l'équation transfor-
mée, on retrouvera réquation que nous venons de former. Nous écrirons, pour abréger, cette équation de la manière suivante :
àVra ^
en feignant que/7« , p^, • • - ,pm soient des fonctions d'une variable Ç, qui aient respectivement pour dérivées
En différenliant Téquation (2) par rapport à la variable fictive (', se rappelant que A| est une constante dont la dérivée est nulle, il vient
~^Pm^i[(^-i)^iPZ ^M^-^)^%PTn '-i---+2A;„-î/9^-HA;^iJ
d\2 m-t , dAj ,„«, dX„^^ j ^A,„t dA„
dV Or --— est identiquement nul; on a donc, en égalant à
zéro les coefficients des puissances de pm,
Pm—\ Am-l -+- —^y = O»
^Pm-l^m-1 -i ^~- = O,
^Pm-l^m-l H ^^ = O,
(/n-- 3)/7>,j i Aj 4- -^ =0,
/ \ A dAg
(m — 2)p^^^ ^* "^ "âf ^^'
Si Ton connaît Vm-n la valeur de A^ s'en déduit immédiatement, comme on Ta vu plus haut, et les équations précédentes donneront ensuite successivement ^m^i y A;„2, ... ; en sorte que la valeur de V;„ se déduit de V,«i par de simples différentiations.
203. Exemple. — On a supposons qu'on veuille avoir V3. On posera
et si Ton fait
àpx ^ dp. __3, -^-Vi.
on aura
dkj, ^ ()A,
^aA,-h -^ =0» ^Pt^ï -+- -jç- =o-
On a d'abord celte valeur de As, savoir :
^Z = P\[P\-^P%)=P\P\-^P\1 on en déduit
et, par suite,
on trouve enfin
et, par suite,
On a donc
Supposons encore qu'on veuille avoir V4. On posera
puis
ôAk . ^)A, . ^ dAi
Pz A3 -f- — - — o, 2;?3 Aj -+- -^ — - o, 3/?8 A, -r -^^ =0.
On a d'abord
A,^=^- ^':p\^iQpxPip\—^p]p\--p\p\p\ — ^plpl, d'où
-^^p'xpXpz— »G7?;p8.
et, par suite,
A3 rir I î4/7j/>J — 6/?î/^J — 8o/7i/?;/73 + i8/?J/7j77,
d'où
-^ — 3847?,/7j-4- 256pî/73 — 288/>î/?,/;3 + ^^p\p,,
et, par suite,
A, — — i92/?i/», — 128;?; H- i44pÎ/'« — 277^1, d'où
et, par suite,
ce qui achève de déterminer la valeur de V4.
Dans le cas particulier du qi^atrième degré, on peut mettre sous une forme commode pour le calcul arithmétique l'expression du produit des carrés des différences des racines. Prenons Féquation proposée sous la forme
ax^ H- ^ba^ -\- &cjc^ -h ^dx -\~ e zzz o^ 5. — ^Is;. sujt., l. 3o
466 couns d'algèbre supérieurtî.
et soient
J z= (tce -r 7. bcd — acP — eh- — c^. On aura, en désignant les quatre racines par a, S, y, o,
aC;<,a-pr-(«-7)M«-^)'(P-v)MP-^Y;7-o^' =:l6%r-27r).
C*estM. Cayley qui, le premier, a trouvé cette formule.
Démonstration nouvelle de la formule de Lagrange,
204. La formule de Lagrange a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres ; Cauchy, en particulier, est revenu à plusieurs reprises sur cette formule, et il en adonné diverses démonstrations. Mais, dans ces derniers temps, M. Rouché a fait une étude nouvelle et plus complète de la question, et il a publié^ dans le XXXIX** Cahier du Journal de l'École Polytechnique, une démonstration qui ne laisse rien à désirer sous le double rapport de la rigueur et de la simplicité: nous croyons utile d'exposer ici l'analyse de M. Rouché.
Les développements qui vont suivre ne se rapportent pas seulement aux équations algébriques : ils s'appliquent également aux équations transcendantes. Rappelons à ce sujet que, si/(;:) désigne une fonction quelconque èie/i déterminée de la variable z, qui s'annule pour 3 =i= ;:,, et si y /[A étant un entier positif, la fonction
a une valeur finie différente de zéro pour z = z^y la racine z^ de l'équation f (z) = o a le degré de multiplicitéfi; les règles du Calcul différentiel montrent que dans
ce cas les ^ — i premières dérivées de la fonction /(:::) s'annulent pour z = Zt, tandis que la dérivée suivante prend une valeur différente de zéro.
20o. Soil/'( z) une fonction bien déterminée de la va-
-riable
z =: p(cosw -h /sinw) r=:pe*»^,
i désignant ici Fimaginaire y — i. Si Ton attribue au module p une valeur déterminée, la fonction y*(::) ne dépendra plus que de l'argument &>; donnons alors à w les n valeurs
9TZ ?.7r ir:
et désignons par Zq, 3|, . . . , z„^i les valeurs de z qui répondent à ces arguments, la moyenne arithmétique des valeurs correspondantes def{z)y savoir
tendra vers une certaine limite quand le nombre n tendra vers l'infini; cette limite sera dite la valeur mojenne de f[z) correspondant au module p.
Considérons, par exemple, la fonction
m étant un entier posiûf ou négatif; la valeur de
est
n ^ n ^l'jit
dès que le nombre vaiiable n sera supérieur à ni, le dé-
noniinateur de cette expression ne pourra s'annuler, car 711 est, par hypothèse, différent de zéro; d'ailleurs le numérateur est nul, puisque m est un entier; donc la moyenne arithmétique des n valeurs de z^ considérées est nulle dès que n surpasse m. Il s'ensuit que la valeur moyenne de la fonction ^"^ est égale à zéro.
Quand le nombre m est zéro, la fonctiony(2) se réduit à l'unité et dans ce cas sa valeur moyenne est ellemême égale à i .
On peut conclure de ce qui précède la proposition suivante, qui nous sera utile ;
Théorème. — Si, pour une valeur déterminée p du module de Invariable z, la /onction /'[z) est dév^eloppable en une série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières positives et négatives de z, le coefficient d'une puissance entière quelconque J5*, dans le développement^ est égal à la valeur moyenne du
quotient — 7--
En effet, supposons que, pour une valeur p du module de z, on ait, quel que soit l'argument w,
m = — ce
on pourra écrire ou, si l'on veut,
t désignant une quantité qui tend vers zéro quand Ten-
^f')-VA„.".-*M-.,
tîer M tend vers Finfini. Prenons les valeurs moyennes des deux membres de cette égalité ; tous les termes compris sous le signe \ donne^'ont des valeurs moyennes
nulles, à Texception de celui qui répond k m = k et qui aura A^ pour valeur moyenne. Si donc on désigne par
Y) la valeur moyenne de e, et qu'on représente par JÏL celle de . - j on aura
mais il est évident que /? := o, car m est la limite que prend, pour /i = oo , la moyenne arithmétique
des n valeurs de £ ; le module m est donc inférieur à la moyenne des modules des quantités e, et, par suite, inférieur au plus grand des modules de ces quantités. D'ailleurs celui-ci s'annule pour M ri=: oo et, en conséquence, le module de y; se réduit en même temps à zéro. On a donc
206. Lorsqu'on attribue une valeur déterminée au module p de la variable s, et que Ton donne à Fargument w toutes les valeurs comprises entre zéro et air, le module de la fonction y (z) prend diverses valeurs. La plus grande de ces valeurs a reçu de Caucliy la dénomination de module maximum; le module maximum de /(z) est donc une fonction du module de la variable z.
Par exemple, soit
ae*' désignant une constante et m un nombre entier : le module dcf{z) sera la racine carrée de rexpression
OU
— [û*-4-2flpcos(» — a)-T- p']"*,
et il est évident que le maximum de cette expression répond à tù = a\ il s'ensuit que le module maximum de la fonction y (z) a ici pour valeur
Cela posé, on a la proposition suivante :
Théorème. — Le module de la valeur moyenne d'une Jonction f[z) est inférieur au module maximum de cette fonction.
En eflet, la valeur moyenne tf[^f[z) de la fonction f{z) est la limite vers laquelle tend l'expression
quand n tend vers l'infini ; le module de la somme qui figure au numérateur est inférieur à la somme des modules des parties, et en conséquence il est inférieur, quel que soit w, à /i fois le module maximum. Donc le module de 0\^f{z) est moindre que le module maximum.
Corollaire. — Lorsque, pour une valeur donnée du module p delà variable imaginaire Zy une fonction f[z) est dé^eloppable en une série convergente ordonnée suiyant les puissances entières positivées et négatives de s,
SECTION II. — CBiPITRE II. 471
le module du coefficient de -t dans le développement,
est inférieur au module maximum du produit z f [z) .
En effet, d'après le théorème du n° 205, le coefficient
de - dans le développement Aef[z) est égal à la valeur
moyenne du produit ^/(z), et, d'après le précédent théorème, le module de ce coefficient est inférieur au module maximum de zf{z),
207. Ces notions préliminaires étant établies, considérons une équation de la forme
z = tf^{x-\- z),
dans laquelle t et a: désignent deux constantes quelconques réelles ou imaginaires, et où <f représente une fonction bien déterminée qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite R. Nous établirons d'abord, d'après M. Rouché, le théorème suivant :
Théorème I. — Si la /onction ^[x-h z) est bien déterminée et continue pour toutes les a^aleurs de z dont le module est injérieur à R, et si la constante est telle^ i/ue le module maximum de la fonction
soit moindre que V unité pour une ^valeur r du module p de z injérieur à R, l'équation
z = rç(jr-}- z)
aura une racine unique de module inférieur à r.
En effet, soit m le nombre des racines ^1,^2» • • • » ^m de cette équation, dont les modules sont inférieurs àr;
4^2 COURS d'algèbre supérieurs.
' en désignant par ^{z) une fonction bien déterminée, qui reste continue et qui ne s'annule pour aucune valeur de z dont le module est inférieur à r ; on lire de là
=r log (s — 2i ) + . . . -f- l0g(2; — Z„,) — log*,
et, en différen liant,
^ ' dz dz z—Zi''' z—Zn z
Donnons maintenant à la variable z le module r; le
module de -^ — étant alors moindre que l'unité,
par hypothèse, on a
d'ailleurs la fonction cp(j:-j-z) est développable, ainsi que chacune de ses puissances, en une séiie convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z; donc la fonction
,og[^. ,--J
peut être développée suivant les puissances entières positives et négatives de z. La même chose aura lieu aussi, par un théorème connu, à l'égard de la fonction
dz
et îl est évident que, dans le développement de cette dernière fonction, il n'y aura pas de terme en -• D'un autre côté, la fonction
riz ~ i [z]
est évidemment développable par la formule de Maclaurin, suivant les puissances entières et positives de z, puisque le module r de -2 est inférieur à R ; donc il n'y a
aucun terme en ~ dans le développement du premier
membre de la formule (2).
Passons au second membre ; comme on a
I I I I Zj
z — Zf z Zt z z^
îl est évident que le coefficient de -> dans ce second
membre, est égal km — i ; ce coefficient doit être nul, et Ton a en conséquence
208. La démonstration de la formule de Lagrange est contenue dans le théorème suivant, qui fait connaître en même temps quelle est celle des racines dont la formule fournit le développement.
Théobème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, si Von désigne par z^ la racine de l'équation
z — r9(.r 4- z) rr-:0,
dont le module est inférieur à /*, et par F (x -1- z) une
fonction bien déterminée et continue pour les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à r, la quantité F{jc-{- Zt) sera développable en série convergente par la formule
