I.2...(/ï— Ij " £/.r"-l

expression qu'il faut réduire à

lorsque nz= i; d'où il résulte que, dans le développement du terme

le coefficient de - a pour valeur

g^* ^"-^F(.r)[y(.r)]^^ I . 2 ... 72 dx^—^ '

en outre, d'après la proposition établie au n° 20B, le module de ce coefficient est inférieur à

pr—9

p étant le module maximum de F'[x-h- z) et q celui de ~ "^"^ D'après cela, dans le développement du pre-

mier membre de la formule (2), le coefiicient de - esL la somme de la série

| I ^ ^ ^ V / j 2 (Ik

f" rf«-»F'(.r7ç'.r^j'» ^ T

et celte série est convergente, car les modules de ses termes sont inférieurs à ceux de la série

dans laquelle (/ est <^ i , par hypothèse ; il est évident que cette dernière série est convergente et a pour somme

— /7rlog(i — 7).

Considérons maintenant le second membre de la formule (2) ; 2 ayant le module r, chacun des facteurs qui le composent est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, et l'on a

F'(- - z) log (, ~ ii) := [^F'(.r) -^ ^F-(.r) M- -?^F>) - ' \Z 9.Z' ^ '6z^ )

Dans ce produit le coefficient de - est évidemment la somme de la série .

le module de Zi étant inférieur à r, cette série est convergente et elle a pour somme, d'après la formule de Maclaurin, la différence

De tout cela nous pouvons conclure que Ton a

comme nous l'avions annoncé.

209. Si Ton fait croître le module p de la variable z depuis o jusqu'à oo , le module maximum de la l'onction

qui est infini pour p = o, ira d'abord en décroissant, et s'il ne redevient pas infini pour quelques valeurs finies de /o, il finira par croître au delà de toute limite, en même temps que p, à moins que cf (a: -r- z) ne soit une fonction linéaire de z. En effet, la fonction 9(0: 4- z) restant bien déterminée et continue pour toutes les valeurs de z, sup-

posons que le module maximum de — ne puisse

surpasser une quantité donnée -; le module maximum de

sera dès lors inférieur à 1 , quelque grand que soit le module de z et il s'ensuivrait ( n° 207 ) que l'équation

zz=z tff[a: -h z)

n'aurait qu'une seule racine, ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas où c[)(x H- ^) est une fonction linéaire.

11 résulte de là que, p croissant à partir de zéro, le module maximum de la fonction

passera nécessairement par un minimum. Posons

le module P et l'argument û seront des fonctions continues de p et de w; la valeur de w qui répond au maximum de P, pour une valeur donnée de p, satisfera donc à Téquation

I ^ dp

P devient alors une fonction de p seul, puisque la variable 0) qui y figure est une fonction déterminée de /s^ et, dans le cas du minimum de P, on doit avoir

dp à?

dp r/«

condition

qui se

réduit à

dp

en vertu de Téquation (2). Cela posé, comme on a

ôz .zdz,

si Ton différentie Téquation (i) d'abord par rapport à p, et ensuite par rapport à w, on aura

^^^ ^ dp da

retranchant ces identités Tune de Tautre et supprimant

le facteur e^^y il vient

à^ . ^da dP ^ (hi dp àp oài d(a

d'où Ton conclut

En vertu de ces formules (5), les équations (2) et (3) ne peuvent avoir lieu que si les seconds membres des formules (4) s'évanouissent; par conséquent la valeur de z qui répond à la plus petite valeur du module maximum satisfait à l'équation

f (z) = o, ou

Désignons par ^ cette valeur de Zy et posons

la quantité 1^ sera une racine commune aux deux équations ^

Z — 7tf(.T-hz)=Oy

1 — To'{.r-\- z)z^o,

et, par suite, elle sera une racine double de Téquation

z — Tcp(.-r -h 3) = o.

Désignons alors par t une constante dont le module soit inférieur au module de t, et attribuons à la variable z le module de la constante 1^ ; il est évident que le module

maximum de -^ " sera égal au module de - : il sera

donc moindre que i . En conséquence, l'équation

z — tf^[x -^ z)=zO

48o couns d'algèbre supêrieurb.

aura une racine unique de module inférieur au module de '(, et le tliéorènie du n** 208 pourra être appliqué à cette racine.