Si Ton pose z ~ u — x, Téquation

Z — r^(.r -;- 2) :rr o

se transformera dans la suivante :

et, d'après les développements qui précèdent, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Soient cj)(w) une fonction bien déterminée qui reste continue^ et T le plus petit des modules qu'il faille attribuer à t, pour que l'équation

Ur=z.T ~\- ti^[u)

ait deux racines égales. Tant que le module de t restera inférieur à T, celle des racines u delà même équation qui a le plus petit module sera dé\^eloppable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positivées de t; la même chose aura lieu aussi pour toute fonction continue de la même racine u. On a (n** 208), si F(u) est une fonction continue,

t(«)=3F(x)-i-YF (^)?(^)+ — ^-

ce qui est précisément la formule de Lagrange, sous la forme que cet illustre géomètre a adoptée. Si la fonction F(u) se réduit à u, il vient

i^^' 1.2 tlx 1.2.../? rfor"-*

La forme que M. Rouché a donnée à la formule de

Lagrange (n° 208) est souvent préférable dans les applications à celle que nous venons de présenter ; au reste, on passe de Tune à Tautre forme par un simple changement de variable (* ).

Applications de la formule de Lagrange.