Considérons Téquation trinôme

Pour que cette équation ait deux racines égales, il faut qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée

L'élimination de t entre ces deux équations donne

mx u= ,

et l'équation (2) donne, pour t, la valeur correspondante

Donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est

(ffl^ ] \m—\

inférieur au module de — ^i=— ,-5 celle des racines de

j'équation (i) qui a le plus petit module est développable en série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières de t. Le développement sera, d'après

(*) Dans son Mémoire sur la série de Lagrange, M. Rouché a établi aussi une autre formule plus générale, et de laquelle il a tiré une démonstration très-simple de la formule par laquelle Waring a exprimé la somme des puissances semblables des racines d'une équation algébrique. Je renverrai pour ces développements au Mén^oire de Fauteur. S. — Alg. sup,, I. 3 j

la formule de Lagrange,

«m f 7?m — I ) . . . ( nm — « + a )

^nnt — /i+l /A I

Le terme général U;, de cette série a pour valeur

nm[nm — i)...(nm — n-\'7.] ^^ „^. „

et Ton en déduit

"n+i i (/im 4- m) («m 4- m— i). . .(7?/7î -I- I ) j

«„ /î -+- I { nm — « + 2 ) . . . ( /im — /i -t- m )

La limite de ce rapport, pour n = oo , est

et Ton vérifie de cette manière que la série est convergente, si le module de t est inférieur au module de

212. L'emploi de la formule de Lagrange est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonctions explicites; j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d'abord qu'on demande de développer en série ordonnée suivant les puissances entières de t la fonction

v'i— itx -+- t^

dans laquelle x désigne une quantité réelle donnée dont le module est inférieur à l'unité.

Je considérerai à cet effet l'équation du deuxième degré

dont les racines sont données par les formules

Pour que Téquation ( i) ait deux racines égales^ il faut que Ton ait

I — ntx -♦- r'= o, d'où l'on tire

jc étant réelle et comprise entre — i et -h i , le module de ces deux valeurs de t est égal à l'unité; donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur à i, celle des racines de l'équation (i) qui aie plus petit module est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t. Si nous supposons que la quantité t soit réelle et comprise entre — I et + I) on aura, d'après la formule de Lagrange,

I — Ji — 2 f x -h ^* .r*

^-le \ 2 / t^

t 2 1 dx I .2

dx^-^ I 2 ... /i

et, si l'on différentie par rapport à x les deux membres de cette formule, il viendra

en posant, pour abréger,

* 1.2. ../i2» dar*'

on voit que celle fonction X„ est précisément celle dont nous nous sommes occupés aux n°* !24 et 134.