CHAPITRE m

DIGRESSION SUR LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES ET SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES.

Théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

21 4. La théorie de la décomposition des fractions rationnelles est si importante, et ses applications dans l'Analyse mathématique sont tellement variées, que je crois utile de la présenter ici avec tous les développements qu'elle comporte.

Nous commencerons par établir qu'une fraction ra-

tionnelle —7 — J-, dont les deux termes sont des polynômes

quelconques premiers entre eux, est décomposable en une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour dénominateurs les diverses puissances des facteurs linéaires qui divisent le polynôme y (x). Nous démontrerons ensuite qu'une fraction rationnelle n'est décomposable ainsi que d'une seule manière, et nous indiquerons enfin le moyen d'effectuer la décomposition.

215. Théorème I. — Si a désigne une racine de Véquation ^(x) = o, a son degré de multiplicité y en sorte que Von ait

fi (x) étant un polynôme non divisible par x — a, la

486 CODES d'algèbue supéaiEURc.

fraction rationnelle yï — i y supposée irréductible^ pourra

toujours être décomposée en deux pairies de la manière suivante :

F M^ A FJxl

A étant une constante, et F| (x) un polynôme entier. En effet, on a identiquement, quel que soit A,

Ffxl Ff^l A F[.x)—AA(a:)

et, pour que le deuxième terme du second membre ne contienne à son dénominateur que la puissance a — i du facteur x — a, il faut et il suffit que le numérateur F(x) — AJ\ [x) s'annule pour x = a. Posons donc

on aura

. Fia]

cette valeur de A sera finie et différente de zéro, puisque fi (a) et F (o) ne sont pas nuls ; si Ton fait alors

F(x)^AA[a:) = (x^a)F,(a:),

on aura

FW ^ A F,(^)

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Si ton a

/(x) = (^ -«)-(x -*)»... (x-/)\ a, &, ..., l étant des quantités distinctes et ol^ 6, ..., l

F ix] des entiers positifs y la fraction rationnelle - — pourra

être décomposée de la manière suivante :