EW

A, A|, . • . , B, B|, . . . , L, Lj, ... e^^z/it rfe5 constantes finies, etE{x) une fonction entière.

En effet, en posant comme précédemment on a, par notre théorème,

A, A|, ... A«,j étant des constantes finies et déterminées, etF4(x), F2(x), ..., F«(a:) des fonctions entières. Il faut remarquer quelaconstante A n'est jamais égale à zéro, mais les quantités A|, A2, ..., A,^, peuvent être nulles, car Tun des polynômes Fi (or), Fa (x), ... peut ctre divisible par;r — a; en ajoutant les égalités qui précèdent, il vient

488 COURS d'àlgèbue supéaiEuas.

$i ToD pose

et que l'on opère sur la fraction ^^' comme nous ve-

nons de le faire sur —-—^^ on obtiendra une expression de la forme

et, par suite,

. B , Bi . Bg^, , F'^gj:^),

B, B|, ... étant des constantes déterminées et F.^.e{j:) une fonction entière.

En continuant ainsi, on obtiendra évidemment la formule qu'il s'agissait d'établir.

216. Théorème II. — Une fraction rationnelle n^ est décomposable que d'une seule maniée en une partie entière et en fractions simples.

Supposons qu'on ait trouvé ces deux valeurs d'une même fraction rationnelle — ^^

et

8BGTTON IT. CHAPITBE III, 4^9

on aura

{jL—aj^ ^ ' (a: — a)'

Cela posé, a et a' étant respectivement les exposants des plus hautes puissances de x — a, dans les deux membres, je dis que a = a' et A = A'. Supposons, en effet, que a et af soient inégaux et que a soit >•«'; tirons de

Téquation précédente la valeur de ? et réduisons

tous les autres termes au même dénominateur ; on aura

OU

(f et (J; désignant des polynômes dont le second n'est pas

divisible par x — a. D'ailleurs, A est une constante ; il

faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente

donne A= o pour x=a. Si donc A n'est pas nul, on

ne peut supposer « ^ a', et l'on ferait voir de même que,

si A' n'est pas nul, on ne peut supposer non plus a <^ a' ;

on a donc a = a'.

Je dis maintenant que A=A'; en effet, de la for-

F i t) mule qui exprime Tégalité des deux valeurs de ^ — ?

on tirera, a' étant égal à a,

A-V ^ J^(.r ) (x — a)* (X— a)*-» ip(.r)*

OU

^ '■il-')

490 COURS d'algèbre supériburc.

çp enj; étant, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisible par x — a ; la différence A — A' est donc nulle, car, pour x=: a, le second niembre de la formule précédente se réduit à zéro.

Les termes qui renferment la plus haute puissance de X — a en dénominateur, dans les deux valeurs de la fraction rationnelle, étant égaux entre eux, on pourra les supprimer et les deux restes seront égaux. En raisonnant de même sur ces deux restes, on voit que les termes qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance du même binôme x — a, ou d'un autre binôme, sont aussi égaux entre eux ; et, en continuant ainsi, on reconnaît

que les fractions simples des deux valeurs de -j-i — : sont

égales chacune à chacune : il en résulte, par conséquent, l'égalité des parties entières E(jc) et E'(j:).

Corollaire. — La partie entière qui figure dans la

valeur d'une fraction rationnelle }, [ décomposée en

fractions simples est égale au quotient entier de la division de F(x) parf(x).

Car, si l'on désigne par E(a:) le quotient et par ^(x) le reste de cette division, on aura

le numérateur de la fraction ^j—j étant de degré inférieur

au dénominateur, cette fraction s'annule pour a: r= oo , et en conséquence elle ne peut renfermer de partie entière.

SECTION II. — CHAPITHE IIÎ. 49 ï

Cas d'une fraction rationnelle dont le dénominateur n'a que des facteurs simples.