Soit

a,b, ,,.y /étant des quantités différentes; siF(j:) désigne un polynôme quelconque, on aura, par ce qui précède,

Â, B, . . . , L étant des constantes déterminées et E(j:) une fonction entière.

Ainsi que nous l'avons déjà dit, le polynôme E(j:) peut être obtenu en effectuant la division de F(j:) par f{x)\ il reste à déterminer les constantes A, B, ..., L. L'équation (i) devient, en multipliant par y*(jc),

Cette égalité a lieu identiquement; si l'on y fait j: = a, tous les termes du second membre s'évanouiront à l'exception du premier qui se réduira à Af{a), ainsi qu'on le reconnaît sur la formule

On a, en conséquence,

F{a) = A/'{a), doù A = JI^;

d'ailleurs a est l'une quelconque des racines de l'équation y*( j:) = o ; donc

49^ COURS d'algèbre supérieurs.

et la formule (i) devient

(3) l(fl= Ff") , F(&) ^ , F(0 ,

Si le degré de F (x) est inférieur au degré mdef (x), '^ partie entière E (x) se réduit à zéro, etl'on a simplement

■xi!:^^^ f"('') . F{*) , , F(/^

Soit

F (x) = Po «»-« + Pj «»-• -1- . . . -+- P„* -h P„,.

Si l'on multiplie la formule (4) par f{x) et qu'on ordonne le second membre par rapport aux puissances décroissantes de X, le coefficient de x"»"' sera évidemment

et cette somme sera égale à Po ; on a donc

le signe \ indiquant qu'il faut remplacer a: par chacune

des m racines de Téquation f{x) =: o , et faire la somme des résultats. Si la fonction F (x) est au plus du degré m — 2, la quantité Po est nulle et Ton a dans ce cas

formule qui est utile dans plusieurs circonstances.

Méthode pour effectuer la décomposition d^une fraction rationnelle^ dans le cas général,

218. Le théorème I du n®215, par lequel on démontre la possibilité de la décomposition, donne aussi le moyen

de reffcctuer. En effet, sî l'on fait

/(x):=(.r-.a)Vi(x%

nous avons vu qne Ton a

F{x]^ A , Fjjr)

/(x) (x — û)«"' (or — «)— V;(x)'

en posant

JP <2

on a ainsi l'une des fractions simples demandées, et, pour trouver les autres, il suffira d'appliquer le même tliéorème à la fraction complémentaire

Dans le cas où l'équation J^{jc) = o n*a que des racines simples, on retrouve facilement de cette manière la forq^ule établie au numéro précédent, mais, ce cas excepté, l'emploi du procédé dont il vient d'être question exige des calculs assez pénibles.

219. On peut aussi employer la méthode des coefficients indéterminés dont nous avons déjà fait usage au n" 217. Soit la fraction rationnelle

que nous supposons irréductible et dont le dénominateur est divisible par la puissance a'*"** du binôme x — a, mais ne l'est pas par une puissance supérieure. Pour trouver les fractions simples qui répondent à la racine a, on posera

494 COURS d'algèbre svpérieurb.

conformément au théorème I. Si Ton multiplie cette formule paLTf{x) et qu'on remplace x par a-^hj on aura

or on a

F(a-f-yl)=F(«)-f-A I^ + ...+A-' -i^'-^-^- . . .. ' ^ ' I 1.2... (a— ij

^ ^ 1.2... a l.2...(a-hl)

et, en portant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient

I ï.2...(a — Ij

+ A.., Fa-» ^^i^ + . . .1 +/i'F.(a-f-/i).

Cette formule a lieu quel que soit A, et si Ton égale de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de h y jusqu'à celles de degré a — i, on aura

A| ' - -4- Al , r H- A ; r = >