i.2...(a-hij 1.2... (2a — l) 1.2... (a

Ces relations permettent de calculer successivement A, A|, ..., A«|, et les valeurs de ces coeiBcients seront unies et déterminées, cary** (a) est, par hypothèse, difTérente de zéro. On peut obtenir par ce procédé les fraclions simples qui répondent aux diverses racines de réquationy(j:) = o; quant à la partie entière, on la trouvera, comme nous l'avons déjà dit, en divisant F(x) par/(a:).

220. Enfin, on peut effectuer la décomposition par un procédé qui n'exige que la division algébrique. En effet si l'on pose, comme nous l'avons fait plus haut,

et que l'on écrive a -f-A au lieu de Xy la formule (i) du numéro précédent, multipliée par /i", deviendra

et l'on voit que le polynôme

A + AiA 4- Aî/i« -h . . . -f- A.»i A-->

est le quotient que l'on obtient quand on divise l'un par l'autre les polynômes F(a + A) et /{[a-^h] ordonnés par rapport aux puissances croissantes de A, jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste du degré a ; on obtiendra donc, par cette division, les fractions simples qui se rapportent à la racine a.

On pourrait déterminer ainsi, indépendamment les unes des autres, les fractions qui se rapportent aux diverses racines, mais il sera plus simple d'appliquer la

F {x\ même méthode à la fraction • */ ; qui complète les termes

déjà trouvés ; on obtiendra ainsi les termes qui se rap-

496 COURS d'algèbre supérieuhe.

portent à une deuxième racine, et une troisiième fraction sur laquelle on continuera Topération.

221 . La méthode précédente a surtout l'avantage de faire connaître Texpression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décompose la fraction rationnelle proposée. En effet, la division des polynômes F («H- A) ety*i(a-f-/i), que nous avons effectuée dans le but d'obtenir les coefficients A, Ai, A2, ...,

revient évidemment à développer la fonction —, ,-

en série ordonnée suivant les puissances croissantes de h\

et, comme une fonction n'est développable que d'une seule

manière en une série de cette espèce, on obtiendra le

même résultat en faisant usage de la formule de Mac-

laurin. Si donc on pose

on aura

en désignant par A"R| le reste de la série ; ici R| est une fonction rationnelle de h qui n'est point infinie pour

1 j . *. 1 j F (<» "^ ^'1 ^ = 0, et, par conséquent, cette valeur de -7-7 est

identique à celle trouvée précédemment. On aura donc

d'où résulte ce théorème général.

SJïCTIOIf II. — CHAPITRE III. 497

Théouème. — Si l'on a

que F [x) désigne une fonction entière de jc, dont le quotient par f{x) soit E (x), et que l'on fasse, pour abréger,

„[x)={x-lYj~-y

F f*^ onaura la valeur suii^ante de la fraction rationnelle -~~{ :

-•ifL. + ."?:i'!) + ?!M__ +,„^ f'ilS^)

^x — «)■ (a: — a)*-* 1.2(0; — «)•-* "* 1.2... (a— 1) (or— a)

rw

nMO

Forme nou\^elle de l'expression d^une fonction rationnelle décomposée en fractions simples.

222. Le résultat qui précède est susceptible d'une autre forme très-simple et très-élégante que nous allons faire connaître. Désignons par F{x) une fonction rationnelle quelconque, par

les racines de Téquation

s. — j4îg. sttp., l, 3a

et par

iwi, m,, . . ,, m^

les degrés de multiplicité respectifs de ces racines. Soit aussi y pour abréger,

f (x) désignant une fonction qui a une valeur finie difTérente de zéro pour x = x< .

Si Ton imagine que la fonction rationnelle F (x) soit décomposée en fractions simples, la somme des fractions relatives à la racine X| sera

(x — :rj)'». I.(x — a:i )'".-*

ï.2...(mi— I— i)(jr— Xt)'"*"* "* 1.2... (m, — i)[x — .r,)'

ainsi qu'on Ta vu plus haut. Par suite, cette somme s'obtiendra en faisant î^= o dans l'expression

i.2.:.(mi — / — ij (x — X|— ;)'•*■* * * ï.2...(/?î,— i) (x — Xi— ;)

Or y'(a:|-i-î[), (j>''(x< -i-î[), ... peuvent être considérées comme les dérivées de 9 {Xi-hl^) par rapport à la variable Ç, et alors il est aisé de voir que l'expression précédente se réduit à

r(p) désigne, comme au n*^ 196, le produit des p — i premiers nombres si p est plus grand que i , et il doit se réduire à l'unité pour p = i .

8FXTION II. CHÀPITEE III. 499

Comme on a .

la somme des fractions simples relatives à la racine Xt sera égale à la valeur que prend, pour î^ = o, l'expression suivante :

r ( /Wi ) r/Ç'"i-»

Si donc la fonction rationnelle F (x) ne contient pas 4e partie entière, on aura

Dans cette formule, il faut faire î[= o, après les diffé-

rentiations ; le signe sommatoire \ s'étend à toutes les

racines X\yX^^ ..., x^. Il est presque superflu d'ajouter que, si le degré de multiplicité d'une racine, de x^ par

exemple, est égal à i , la dérivée â^'/T:^ ^^^^

être réduite à ^^^^^L±^.

Si la fonction F (x) contient une partie entière E (x), on a

il est aisé de trouver la valeur de E(x). Désignons par n l'excès du degré du numérateur de F [x) sur celui du dénominateur; n sera le degré de E [x). Cela posé, si l'on

change x en - dans l'équation précédente et qu'on mul-

5oo COURS d'algèbee supérieu&e.

tiplie ensuite, de part et d'autre, par z", on aura

\z) \z) Zjl\m,) c/Ç'

11 s'ensuit que, si l'on développe z^Ff-j en série ordonnée suivant les puissances croissantes de z, la somme des termes dont le degré ne surpasse pas n sera z"E ( - ) •

Or, X^ désignant toujours un infiniment petit, on a, par la formule de Maclaurin,

\zj \^) l de 1.2 rf;*

donc on a

et, par suite,

On peut trouver une autre expression plus simple du polynôme E(x). En effet, le coefficient de f'»~' dans le

développement de ^"Pf-J , suivant les puissances croissantes de *(, est égal au coefficient de Xj^ dans le développement de Ç'^'^'^FI - j; d'ailleurs ces coefficients sont les

SECTION II. CHAPITHE III. 5oî

valeurs que prennent, pour Ç = o, les deux quantités

d^i^npf^^ ^ c^«C«*'F('i)

r(/i — /-Hi) r/ç«-' r(/n-i) û?ç'* '

donc on a, pour ^ = o,

f(rt — iH-i) rf;«-' "" r(/i4-i) <ïv* ' et il faut remarquer que le premier membre doit être réduit à ?['* Ff - j dans le cas de i =: /i.

D'après cela, la valeur précédente de E(a:) devient

enfin, comme on a évidemment, pour Ç = o, et pour ï>re,

on peut aussi écrire

ou

On a donc la formule suivante qui donne la valeur d'une fonction rationnelle quelconque F(x) décomposée en

!io2 COURS d'algèbre supérieurs.

une partie entière et en fractions simples, savoir :

la quantité f devant être égalée à zéro après les différenliations.

Mode particulier de décomposition pour les fractioru rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.