La théorie que nous venons d'exposer s'applique
à toutes les fractions rationnelles -~) — (9 et les coefficients
peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou imaginaires. Mais, lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de l'équation y ( a:) = o il s'en trouve quelques-unes qui sont imaginaires, l'expression de la
fonction réelle -r|— [ est elle-même compliquée d'imagi-
naires. On 8^ cherché à modifier, dans ce cas, la manière d'effectuer la décomposition, et l'on y est parvenu comme nous allons l'indiquer.
224. La possibilité du nouveau mode de décomposition que nous avons en vue résulte du théorème suivant :
Théorème L — Si x^ -\- px -^ q est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués du polynôme réelf{x), n la plus haute puissance de ce trinôme qui divise f[x)» en sorte qu'on ait
SECTION II. — chàpithb m. So3
Vf a*]
la fraction réelle et rationnelle -A—r pourra être décomposée en deux parties^ de la manière suivante :
FM ^ P:g-f-Q ^ F^H
P el Q étant des constantes réelles, et F< [x) un polj^ nome réel.
En eiTet on a identiquement
et Ton peut déterminer P et Q de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre soit divisible par x^-^px-^ y, c'est-à-dire de manière que ce numérateur s'annule en remplaçant x par chacune des racines de l'équation
x^ -hpx -h ^ =o.
Soient h -f- A* \l — i et h — kyj — i ces deux racines, et posons
F;/.±X-v/~lj-[P(^ibXV^)-hQ]/,(^±:*v/=^j=:o;
on tirera de là
M et N étant des quantités réelles dont les valeurs sont finies et déterminées, puisque, par hypo thèse, /^i [x) n'est pas divisible par x^-^px-^q. L'équation précédente se décompose dans les deux suivantes :
5o4 COURS d'algèbre supérieure.
lesquelles donnent pour P et Q ces deux valeurs réeUes et finies,
^ N ^ MX~NA
Les valeurs de P et Q étant ainsi déterminées, nous poserons
F| (x) désignant un polynôme réel, et, par suite, on aura
ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — La Jraction rationnelle t— : pourra se décomposer de la manière suiv^ante :
F(^ ^ P^-hQ ^ Pi-g^ Qi ^
J[x) (x^-i- p.r -^ qj"- [x^ -^px ~h qy*~^ ^ Pn-l-r-4-Qn-l ^ F„(.r)^
P, Q, P<, Qi, . .. désignant des constantes réelles, et Fn{x) un polynôme réel aussi.
• 225. En combinant le théorème précédent avec le théorème analogue démontré aun°2l8, on obtient celui-ci :
Théorème IL — Si l'on décompose le polynôme /(jo) en /acteurs réels du premier et du deuxième degré, en sorte qu'on ait
f[x]=[x-^aY[x—bY...[x'--lY[x^-\-px-^qY...[x'^'^rx^s)'^,
F^r) on pourra décomposer la fraction rationnelle -j — de
SECTION II. — CHAPITRE III. 5o5
la manière suivante :
Li , , Lx i
(x*-f-/?x-f- ^]'* (j:*4-/?a:-|-7)'*-* "* x^-^-px-^q
R^-+-S ^ Ri^r-f-Si , R;„i^-f-S;„«i
(a:» + rx -4- f J"* ( a:* H- ro: -f- .vj "*-* "* j;^ -H tj: -h *
E(x) désignant une partie entière qui peut être nulle, et A, A|, ..., L, L<, ..., P, Q, P|, Qj, ..., R, S, Ro So ..., rfej constantes réelles,
226. Théorème III . — Une fraction rationnelle n'est décomposable que d'une seule manière en fractions simples de la forme qu'on vient de considérer.
Soient deux valeurs d'une même fraction rationnelle
— ^ — -» On démontrera, comme au n® 216, Tégalité des
fractions simples qui correspondent aux facteurs du premier degré du dénominateur, et quant à celle des fractions simples qui correspondent aux facteurs du second degré, elle peut se démontrer d'une manière analogue,
comme nous allons voir. Soient .—r rz le terme
[x^-^ px-hq)"'
dont le dénominateur contient la plus haute puissance de x^ + px -hq dans la première valeur de — — j' ^^
,—, rrr le terme analoerue dans la seconde valeur.
Je dis d'abord que n'==zn. Supposons, en effet, que
5o6 COURS d\lgèbre supérieure*
cela ne soit pas, et que Ton ait n;>n' : de l'égalité qui a
lieu entre les deux valeurs de -jr^-^ tirons la valeur de
/^i ■ — — , — r^ ', cette valeur sera exprimée par une somme
de quantités dont aucune n'a en dénominateur une puissance de x^^px-^q supérieure à la {n — i)""*". En réduisant donc toutes ces quantités au même dénominateur, on aura une égalité de la forme
ou
ff[x)el^[x) désignant des polynômes, dont le second ^{x) n'est pas divisible par x^-hpx -^^ q. Or l'égalité précédente est impossible; car, autrement, l'équation Px -H- Q = o devrait admettre les deux racines de l'équation x^ H- px -h y = o, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps, contrairement à l'hypothèse. On ne peut donc supposer n^n'ni n'^n, pour une raison semblable; par conséquent, on a «' = /i.
Je dis maintenant que l'on a aussi F= P, Q'= Q. Reprenons, en effet, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre
les deux valeurs de ,./ ,? mettons dans un même membre
les deux termes -r-i -^^ — r- et r--; — '■ r-.> et dans
le second membre tous les autres termes dont les dénominateurs ne contiendront aucune puissance dex^-^px-^-q supérieure à la (ti — ly*»»! réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de
SECTIOir II. — CHJLPITEE HT. 5o7
cette forme
OU
(p p')^H.(Q Q')=:(ar«-h/?x-Hç)
9 ( x) et ï|^(j7) désignant, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisible par j:^ H- px-hÇf et l'on fera voir aussi, comme plus haut, que cette égalité exige
Il suit de là que , dans les deux valeurs de ^. ": •» les teripes
qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance d'un facteur du second degré sont égaux; en supprimant ces deux termes, les deux restes auront encore, pour la même raison, deux termes égaux; et, en continuant ainsi, on voit que les deux valeurs de la fraction considérée ne sont formées que de fractions simples égales chacune à chacune : il en résulte en même temps l'égalité des parties entières, s'il y en a.
