Méthode de décomposition. — Pour effectuer la

Fix) décomposition d'une fraction rationnelle — — r ? on déter-

minera la partie entière et les fractions qui correspondent aux facteurs réels du premier degré du dénominateur, comme on l'a vu aux n°* 217 et suivants. Quant aux fractions qui correspondent aux facteurs réels du second degré, on pourra les déterminer successivement par le procédé même qui nous a servi à démontrer le théorème I. On pourra aussi faire usage de la méthode des coefficients indéterminés.

Dans le cas où les racines imaginaires de l'équs^tion

5q8 corKs d'algèbre supéRrEUHE.

f[x)=r: o sont toutes inégales, on peut déduire la noii-

velle expression de la fraction rationnelle -?r^ de celle

qui a été établie au n° 217. Soient, en effet A -f- A- y/ — i et A — k \ — i deux racines iimples imaginaires et conjuguées de réquationy(x) = o; l'expression de la fraction — — ; contiendra les deux termes suivants :

f'i^h—ksi—l) x-^h-hksj — i

dont la somme a la forme

et peut en conséquence se réduire à une expression telle que

[jr. — fiY'-^ k^*

Il résulte de là que la fraction -, — ^,,,- -ri? où P et Q désignent des constantes réelles, pourra remplacer, dans l'expression de yj^ : i les deux fractions simples qui correspondent aux racines A =h A: y — i .

Conditions pour que l'intégrale d'une différentielle rationnelle soit algébrique.

228. L'une des applications les plus importantes de la théorie qui vient d'être exposée est l'intégration des différentielles rationnelles. Nous n'avons point à nous

SECTION II. — CHAPITRE III. 5og

occuper ici des détails de cette intégration, et nous nous bornerons à donner les conditions pour qu'une différentielle rationnelle ait une intégrale algébrique. Soit une différentielle rationnelle

et

a,b,...,l étant des quantités réelles ou imaginaires; on mettra la fraction -^. — { sous la forme

y(xj ^ ' [x — a)* [x — «)*-* x—a

B Bt Bff^i

^ [a^-lf^ [x-~l )^-» ^ • • • ^ X - /

Yix] Pour avoir l'intégrale de yj — t dx, il faut multiplier par

d^o? chaque terme de cette valeur de -7f-\i et intégrer

tous les résultats. Or les seuls, parmi ces résultats, dont l'intégrale n'est pas algébrique sont ceux qui ont pour dénominateur la première puissance de l'un des binômes X — a, X — J, ....

On a en effet, si (xl n'est pas égal à i,

XfU A

const.,

et, si a'= I,

kdx

:= Alog(x — a) -\- const.

5io COURS d'algèbiie supérieurb.

Donc, pour que —^ dx ait une intégrale algébrique, il

Yi.r]

faut et il suffit que, dans le développement de - ~ en

fractions simples, il n'y ait aucun terme dont le dénominateur soit du premier degré, c'est-à-dire que l'on ait

A^i = o, B«i = o, Cp-., = o, ....

Cela exige d'abord que le polynômey(x) ne contienne aucun facteur linéaire simple. Nous avons vu, au n° 22i , qu'en posant

on a

Afr-i = — -. — j JSe-i =