a — ij '""■ 1.2...(6 — ij
Y, — r dx soit algébrique sont donc
quelles que soient les quantités a, i, . . . , c, réelles ou
imaginaires.
Ces conditions sont en même nombre que les racines
a, J, . . . , /; mais, si le degré de F(j:) est inférieur de
deux unités au moins à celui àef[x)^ l'une d'elles sera
comprise dans les autres. Désignons, en effet, par m le
degré àef[x)y et supposons que F(a?) soit au plus du
p / \ degré m — 2; la partie entière E(j:) de - —7 sera nulle,
et, si l'on réduit au même dénominateur toutes les fractions simples, pour les ajouter et recomposer la fraction
, ' > on voit sans peine que le numérateur de la frac-
SECTION II. CHAPITKB III. 5n
lion aînsî obtenue contiendra x'^"* avec le coefficient
Ce coefficient doit être nul, puisque F[x) est du degré m — 7. an plus ; on a donc
et 9 par conséquent, Tune des conditions pour que
/— 7 — ( dx soit algébrique rentrera dans les autres.
L'équation précédente comprend, comme cas particulier, une formule que nous avons établie au n** 217.
application à un problème de Géométrie.
229. Comme application des considérations que nous venons de présenter, je traiterai ici succinctement un cas particulier d'un problème dont j'ai donné la solution générale dans le XXXV" Cahier du Journal de l'École Polytechnique, et dont voici l'énoncé :
Problème. — Trousser toutes les courbes algébriques dont Varc indéfini s'exprime par un arc de cercle, et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions rationnelles de la tangente trigonomètrique de cet arc.
Si l'on désigne par i l'imaginaire y — i , par h une quantité positive, et par &) un angle réel, puis que l'on
fasse
r = [z — ay-^^ [z — h)P^^ (z__ c)-?-^*, . . .,
a et ce étant des constantes imaginaires et conjuguées, ainsi que b et S, c et y, . . . , et m, tî, /?, y, . . . étant des entiers positifs, la solution générale du problème proposé
5ia COURS d'algèbbe supéeiecre.
sera donnée par la formule
pourvu que les constantes a, i, c, . . . , a, 6, 7, - . • soient choisies de manière que l'intégrale qui figure dans la formule précédente soit algébrique. On a effectivement
et, en changeant i en — i,
^* ~ idy z= k (costi - / sine») - ^^^yj^^, ^«.
La multiplication des formules précédentes donne
, dx^^dy'^^- -, d'où ^dx^^dy^ = k .
et
^d,T^ H- ^^' = /* arc tangz.
Comme le degré du numérateur de la fraction
- 7> .--—i, est inférieur de deux unités au decré du dé-
nominateur, si fx désigne le nombre des constantes a, b, c, . . . , ou a, 6, 7, ... , il suffira de satisfaire à fx — i conditions pour rendre algébrique l'expression de a: -+- y '. Lorsque t et t se réduisent à Tunité, notre formule ne donne pas d'autre courbe que le cercle ; le cas le plus simple est donc celui dans lequel on a
la formule (i) devient alors
fl . • N ffz — «!''+» (z —il'" ^
(a) .r + ^j ^ ^(cosc. + i sin») j ^^ ^^„^,^^ ^ ^^^^.^dz, et une seule condition suffira pour que l'intégrale soit
SECTION II. CHAPITRE Itl. Dl3
algébrique. Pour trouver cette condition de la manière la plus simple, soit u une nouvelle variable et posons
Faisons aussi, pour abréger,
on aura
et
puis
dz la — i ,
— • du
(z -H/)* ni a -\- é {z — i)"*dz I fa — /\ '"■♦'*
iz-i-i
u'"dtt^
Z\ — a oLt-iu — Ç D'après cela, la formule (2) devient
en faisant, pour abréger.
