A OT

A = — : AfcoSft) H- {SmMj ( ■ I ( : )

Il ^ 'Xa-hiJ \a-hij

On voit alors que la condition pour que x-i-ij soit algébrique est

Cette équation en ^ est du degré m -H i ; elle a une racine égale à I , et, si /z est inférieur à m, elle a m — /i racines nulles ; le nombre des racines différentes de o et de I est donc égal au plus petit des nombres m et ti ; on reconnaît que toutes ces racines sont réelles, inégales et s. — jiig. sup.f 1. 33

comprises entre o et i , en appliquant n fois de suite le théorème de RoUe à Téquation

qui a m racines nulles et ti -|- i racines égales à i . Les racines nulles de l'équation (4) ne peuvent nous convenir, car, pour ^ = o, la formule (3) donne a n= — i ou a ^- ^ - /; mais Tune de ces équations entraîne Tautre, puisque a et a sont conjuguées;' les facteurs z — a, z — a deviennent-?+ I, z — i; par suite on retombe sur le cas où les polynômes ï et t se réduisent à Tunité. Pour ^ ^= t Téquation (3) donne a = a, et la formule (a) se réduit encore à celle que donne Fliypothèse t = x =^\

Mais à chacune des racines ^ comprises entre o et i répondent, pour a et a, des valeurs imaginaires et conjuguées l'une de l'autre. Remarquons d'abord qu'on peut supposer

(5) fla=:i

sans diminuer la généralité de la solution, car on ramènera le cas contraire à celui-là par un changement de variable. Il suffira effectivement d'écrire au lieu de z,

I — iZ

en prenant pour e Tune des racines de l'équation

aoL — I

par la transformation dont il vient d'être question la formule (2) devient