X-+ /r^-/(cos« + /sm«)j (^
ai et «1 ayant les valeurs suivantes :
SECTION II. CHAPITRE HT. 5l5
d'où Ton conclut a^ ai = i . On peut donc admettre l'équation (5) et de cette équation combinée avec (3) on tire alors
en donnant à a et à a ces valeurs, dans la formule (2), l'expression de x -h «7 sera algébrique.
Détermination cV une fonction rationnelle par le moyen des ^valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable.
230. Une fonction entière du degré m de la variable x est entièrement déterminée lorsque Ton connaît les valeurs de cette fonction qui répondent à m -f- i valeurs données de x. Quand les valeurs de x dont il s'agit forment une progression arithmétique, la fonction peut être obtenue par la méthode que nous avons exposée au n^ 1 56 ; mais il est important d'avoir une formule qui embrasse tous les cas. Cette formule est précisément, comme on va le voir, celle qui a été établie au n® 217, et qui exprime la valeur d'une fraction rationnelle décomposée en fraclions simples.
Soient
les valeurs d'une fonction entière F(x) du degré m, correspondant aux valeurs données
jTq, ^j, .rj, . . . , JT^
de la variable x\ posons
/(x) ^z (x — x^] [x — :ci) (x — ;r,) . . . (a: — x,^),
5l6 COURS d' ALGÈBRE SUPÉRIEURS.
on aura
^ X Xq X Xy X Xf^
et, par conséquent,
Cela posé, le degré def{x) surpassant d'une unité celui de F(x), on a (nO 217)
FM^Ff-rJ 1 ^ F(x^ î ^ , Ff.r^) 1 f[x} /(.roj a: — ;ro /'(j:,) x-x^ /\x„)x-^ r„'
et, en chassant le dénominateury(x), il viendra
Xt, —
Xi)(a:o — J^i)...(j^O— ^
(j:— .rn ] fx-- .rj . , .(x — .r,..i ) ^
Cette formule donne la solution de la question proposée : d'ailleurs celle-ci ne peut admettre une autre solution; car, s'il existait une fonction F|(j:) du degré ///, différente de F[x) et satisfaisant aux conditions du problème, l'équation
qui est au plus du degré m, admettrait les m-:- i racines Xoy Xi, . . . , Xmy ce qui est impossible.
On peut encore résoudre la même question en raisonnant comme il suit : si les valeurs données uo, U| , . . . , U;» sont toutes nulles à l'exception de l'une d'elles ii^y et que celle-ci soit égale à l'unité, il est évident que la fonction demandée est déterminée et a pour valeur
(*|* -^0 ) • • • (^n — ^|fc— 1 ) l^jfc — ^ji+l ) • • • ( •'■ji — -^
SECTION II. CHAPITRE III. 5l7
Cela étant, on aperçoit de suite que, dans le cas générai, la solution du problème proposé est donnée par la i'ormiile
F{x) -.- Uq Xo -f- a, X, -f- . . . -f- u^X„^,
231 . 11 est souvent plus avantageux de donner à l'expression de la fonction demandée F(x) la forme à laquelle nous avons été conduit au n? 156, dans le cas particulier où les valeurs données de la fonction répondent à des valeurs équidistantes de la variable. On y parvient facilement par la méthode des coefficients indéterminés ; car, si Ton pose
i*['r] :Ao —Al (x -— JCo)-f- Aj(:c — ^o) [^ — J^i) -h As (df~.ro) [x — Xi) [x — J?i)-h. . • -^- A;„(x — .ro).. [x — Xn^i),
les constantes Ao, A|, ..., A^ pourront être déterminées successivement au moyen des équations de condition
//o — Ao,
//. ■■■■' Ao-f- A,(.rj —Xq),
/.-,> --: Ao -:- A,(jr, -- Xo) -h A,(jr, — x^) (x, — Xj),
"m"- Ao 'h Ai(.r^— Xo) n- - • . -4- A;„(x^ — Xo)...(x;„— .rl j).
Lorsque les valeurs données
forment une progression arithmétique dont la raison est h, on tire immédiatement des équations précédentes
Ao-tfo» A,4=— — 7-7
et Ton retrouve la formule du n® 156*
oi8 COURS d'algèbre scpérieure.
232. La formule du n° 230 n'est qu'un cas particulier d'une autre formule plus générale, que Cauchy a fait connaître dans la Note V de son Analyse algébrique, qui donne la solution du problème suivant :
Problème. — Troux^er une fonction rationnelle u de la variable x, dont le numérateur et le dénominateur soient des fonctions entières des degrés m et n respectivement, connaissant les m H- /n- i valeurs de u qui répondent à m-f n-i- i valeurs données de x.
Il est évident que ce problème ne peut admettre qu'une seule solution ; car, si deux fonctions distinctes
Ffx) F,f.r)
remplissaient l'une et Tautre toutes les conditions de l'énoncé, il est évident que l'équation
qui est au plus du degré m -f- «, admettrait pour racines les m 4- 7ï -h I valeurs données de Xy ce qui est impossible.
Cela posé, soient
''Oi ^U "il • • -t "w-»-a
les valeurs de u qui répondent aux valeurs données de Xy
■^Oi -^li ^1» •••» ■^/n+/»'
Supposons d'abord que m de ces m -:- n valeurs de n soient nulles; que Ton ait, par exemple,
«rt+i = o, «;n.j = o w„+« = o;
il est évident que le numérateur de la fonction cherchée sera
SECTION II. — cHÀPiTas ni. 5i9
A étant une constante arbitraire; par suite , le dénomi^ nateur sera égal à
A(x — x„+,) (.r — JTn+x) . . • (^.— ^'»+m) u
et si l'on donne à x les valeurs successives Xo^ ^i ^ • •• oc„y il prendra les valeurs correspondantes :
— (^0 — ^n-hX ) (^0 — ^n-M ) • • • l'^o — */H-m)»
on peut donc obtenir l'expression du dénominateur de u par la formule du n° 230, et l'on trouve ainsi
A , , (x — X,) (or — j:,)...(.r — ar„)
Alors, en donnant à la constante arbitraire A la valeui
\^o — ^n-hl j • • • i -^0 — ^n-^m j
S20 covBs d'algèbre supérieubb.
le numérateur de la fonction u sera
et cette même fonction aura pour dénominateur le terme
(a) rf^rr.^.M^, : - -^ , r — ~- — ■ —
augmenté des n termes qu'on en déduit en faisant toutes les permutations des indices o, i, 2, . . ., r.
L'analyse du cas particulier que nous venons d'examiner nous conduit immédiatement à la solution du cas général.
Supposons effectivement que les quantités uq, U|, ..., i^A+m soient quelconques ; faisons dans chacune des expressions (1} et (a) toutes les permutations possibles des m-r-n-hi indices
o, I, 2, . . ., (mn-Tz),
et ajoutons, dans chaque cas, tous les résultats obtenus. La première somme sera le numérateur de la fonction demandée, et la seconde somme sera son dénominateur; on aura ainsi
uu u - - (^ - ^,^,) [•'^ — ^,^t>) . » . (^ — ^.^n,) , ^
u u u - ^(3-5)>L^^'I:^^if-.^:fi^ ^.
Rien n'est plus facile que de vérifier ce résultat ; faisons en effet x = j:„, le numérateur de la formule précédente se réduira au produit de Un par la somme
où les termes qui suivent le premier se déduisent de cc-
SECTION H. — GHikPITllE III. 5a I
lui-ci en faisant toutes les permutations des m-\-n indices
Or c'est à cette somme que se réduit aussi le dénominateur de u pour x=^Xn\ donc la formule (3) donne 11=2 u„ pour X =^ Xn'i et, comme tout est symétrique par rapport aux indices, on Siu^r: u^ pour x =^ x^, quel que soit l'indice [x,
La formule (3) subsiste dans le cas de /i = o, pourvu qu'on réduise son dénominateur à l'unité; elle coïncide alors avec la formule du n*^ 230; elle subsiste également dans le cas de m -rr:: o, pourvu que l'on remplace le numérateur par UoUi , . ,u„.
Dans le cas de /w= /i := i, la formule (3) donne
ffpV.' — • ^^ù^,: ^-«l"^7 \, -- T
3^0 — X Xf — X X^ — X
"• {xy-x,)(x,-^x^) "^ "' (x,-x,)(x,-x,) "^ "' (7, - .rj\x, - A- )
Des séries récurrentes, 233. Une série
ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes de la variable x, est dite récurrente, lorsque, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, le coefficient de x" peut s'exprimer, quel que soit tz, par une même fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre fixe. En d'autres termes, la série que nous considérons sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, on a identiquement
m étant un entier quelconque, et «©> «<> • • • ? «m des quantités constantes. La suite de ces quantités
est ce qu'on nomme Véchelle de relation de la série récurrente.
Cela posé, nous établirons à l'égard de ces séries les deux propositions suivantes :
Théorème I. — Lorsqu'une série ordonnée suiv^ant les puissances croissantes de la variable x est à la fois cons^ergente et récurrente, elle a pour somme une fraction rationnelle.
En effet, soient cp (x) la somme de la série proposée (l) ûo-l-czi x -A-a^x^-h. . .H-fl;,ar'*4-. . .
et
Oto, «1, • • - 1 «m
son échelle de relation, en sorte que l'on ait
pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite.
Posons
/(x) = ao^r"*-!- ai «'»-* -h. . .-+- «m-i ^ -^ «m,
et multiplions la série (i) parle polynômey(x). Chaque terme de ce multiplicateur donnera pour produit une série convergente, et la somme des m -h i séries qui répondent ainsi aux /w-hi termes dey*(x) sera évidemment une série convergente qui aura pour somme le produit (f[x)f{x). Or, en ordonnant cette dernière série suivant les puissances de jc, on trouve que le coefficient de x" est précisément le premier membre de l'identité (2); et, comme ce premier membre est nul,
pour les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, la série que nous considérons se réduit à un polynôme F (x) composé d'un nombre fini de termes; on a donc
d'où
, . Ff.r)
ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème II, — Réciproquement , toutes les fois qu'une fraction rationnelle peut se développer en une série com^ergente ordonnée suis^ant les puissances croissantes de la variable, cette série est récurrente.
En effet, supposons que la fraction rationnelle -p—\
soit développable en une série convergente et que Ton ait
Ff^l
pour certaines valeurs de la variable x. Soit aussi
Le produit de la série (i) parle polynôme (2) est une série convergente qui a pour somme le produit
donc, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, le coefBcient de a:" dans le produit dont il s'agît doit se réduire à zéro. Or ce coefficient a pour valeur
donc on a
524 couits d'algèbre stjpéeieuee.
pour toutes les valeurs de n, à partir d'une certaine limite ; cette condition exprime que la série proposée est récurrente.
234. On peut obtenir de la manière suivante le développement d'une fraction rationnelle en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable.
Décomposons la fraction rationnelle donnée»— - en
fractions simples, et supposons que l'on ait trouvé
Pour résoudre la question que nous avons en vue, il suffit de développer eh série, par la formule du binôme,
chacune des fractions simples j — ——ou A(x — a)'*.
On a ainsi
[aj:^a(a-'-l)a:' Hj
et, si pn désigne le coefficient de x" dans E (a:), le terme général du développement de - - en série sera
Dans le cas particulier oCiles racines a, ... de^(x) ::rz o sont toutes simples, on a a = i et A = ^y - ; le terme
général se réduit à
Ainsi la série récurrente dans laquelle se développe la
Ff.r)
fraction - — peut s'obtenir par Taddilion de plusieurs
séries provenant des développements de diverses puissances négatives et entières des binômes a — a:, h — x, . . . . D'ailleurs ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de Xy dont le module est inférieur au plus petit des modules des quantités a^h^ ...; on peut donc énoncer la proposition suivante, qui est un cas particulier d'un théorème de Cauchy relatif au développement des fonctions :
Théorème. — Une série provenant du développe^
ment d'une fonction rationnelle ^. ' ' - est convergente
pour toutes les ^valeurs réelles ou imaginaires de x dont le module est inférieur au plus petit module des racines de r équation f(x) = o.
Exemple. — Proposons-nous de former la série récurrente dans laquelle se développe la fonction
P H- Qr
