Méthode de décompositiow. — Pour effectuer la
Ff.r)
écomposition d'une fraction rationnelle yr^^ 9 on déter-
linera la partie entière et les fractions qui corresponent aux facteurs réels du premier degré du dénominaîur, comme on l'a vu aux n°* 217 et suivants. Quant ux fractions qui correspondent aux facteurs réels du econd degré, on pourra les déterminer successivement ar le procédé même qui nous a servi à démontrer le béorème I. On pourra aussi faire usage de la méthode es coefficients indéterminés.
Dans le cas où les racines imaginaires de l'équation
5o8 cpuBs d'algèbre supérieure.
fi^x)='0 sont toutes inégales, on peut déduire la nou-
velle expression de la fraction rationnelle -y—' de celle
qui a été établie au n° 217. Soient, en effet h-h k yj — i
et h — k y — I deux racines simples imaginaires et conjuguées de réquationy(a:) = o; l'expression de la fraction — r- contiendra les deux termes suivants :
dont la somme a la forme
et peut en conséquence se réduire à une expression telle
que
Pr + Q
Il résulte de là que la fraction 7- -,/,--;:; 9 où P et Q
désignent des constantes réelles, pourra remplajcer, dans l'expression de - ■'—t les deux fractions simples qui correspondent aux racines hz-.k^ — i .
Conditions pour que l'intégrale dune différentielle
rationnelle soit algébrique,
228. L'une des applications les plus importantes de la théorie qui vient d'être exposée est l'intégration des différentielles rationnelles. Nous n'avons point à nous
SECTION II. — CHAPITRE III. SnQ
occuper ici des détails de cette intégration, et nous nous bornerons à donner les conditions pour qu'une différentielle rationnelle ait une intégrale algébrique. Soit une différentielle rationnelle
et
a^ b, , . ., l étant des quantités réelles ou imaginaires;
on mettra la fraction -jr, — 7 sous la forme
«-./-. A Al An — 1
B B, Be i
' (.r ùj^ ' (x ^)«-» ' ••• ' or ù
1^ Jji J 'V — 1
...i. 1 II
Ffx) Pour avoir l'intégrale de -7- — - dx, il faut multiplier par
dx chaque terme de cette valeur de -tt-t» et intégrer
tous les résultats. Or les seuls, parmi ces résultats, dont l'intégrale n'est pas algébrique sont ceux qui ont pour dénominateur la première puissance de l'un des binômes
On a en effet, si od n'est pas égal à i ,
r A fU A
r 1 ^ =^ ~ ,~f — T7 \'^r-i "+" const.,
et, SI a = i ,
T= Alog(x — a) H-const.
jc -— a
5io COURS d'algèbhr supérieure.
Donc, pour que 7-/— ( dx ait une intégrale algébrique, il
faut et il suffît que, dans le développement de — -— en
fractions simples, il n'y ait aucun terme dont le dénominateur soit du premier degré, c'est-à-dire que l'on ait
^m^\ = o, B^t = o, Cy—i = 0, ....
Cela exige d'abord que îe polynômey(a:) ne contienne aucun facteur linéaire simple. Nous avons vu, aun°221, qu'en posant
on a
l.2...{a— ij i.2...(6-— ij '
-j^ — r dx soit algébrique sont donc
quelles que soient les quantités a, b, . . .^ Cy réelles ou imaginaires.
Ces conditions sont en même nombre que les racines a,b,..., /; mais, si le degré de F(x) est inférieur de deux unités au moins à celui Ae f[x)y l'une d'elles sera comprise dans les autres. Désignons, en effet, par m le degré de/(j:), et supposons que F(jr) soit au plus du
degré m — 2; la partie entière E(x) de -^^ — '- sera nulle,
et, si Ton réduit au même dénominateur toutes les fractions simples, pour les ajouter et recomposer la fraction
-r — -t on voit sans peine que le numérateur de la frac-
SECTION n. CHÀPITHE III. 5ll
tîon aînsî obtenue contiendra x'^"* avec le coefficient
Ce coefficient doit être nul, puisque F(x) est du degré m — a au plus ; on a donc. ,
et, par conséquent, Tune des conditions pour que
/-r. — { dx soit alffébrique rentrera dans les autres.
L'équation précédente comprend, comme cas particulier, une formule que nous avons établie au n" 217.
jipplication à un problème de Géométrie,
229. Comme application des considérations que nous venons de présenter, je traiterai ici succinctement un cas particulier d'un problème dont j'ai donné la solution générale dans le XXXV" Cahier du Journal de i Ecole Polytechnique, et dont voici l'énoncé :
Problème. — Trouver toutes les courbes algébriques dont l'arc indéfini s'exprime par un arc de cercle, et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions rationnelles de la tangente trigonométrique de cet arc.
Si l'on désigne par i l'imaginaire \J — i , par A" une quantité positive, et par w un angle réel, puis que l'on fasse
tz=z[z— «)"+* [Z — b)!'-^^ (3— c)V+î, . . .,
a et a étant des constantes imaginaires et conjuguées, ainsi que i et 6, c et y, . . . , et /w, tï, ^, y, . . . étant des entiers positifs, la solution générale du problème proposé
5l2 COURS d'àLGÈBBB SUPÉRIEURE.
sera donnée par la formule
pourvu que les constantes a, i, c, . . . , a, 6, 7, . . . soicntchoisics de maniè^e que Tintégrale qui figure dans la formule précédente soit algébrique. On a effeclivement
et, en changeant i en — i,
^x - idy = / (cosû» - / sm») - -—-■ — dz.
La multiplication des formules précédentes donne
^,.+^^.=;"^!i, d'où ^/^»Trf?=*-^.
et
^djc^ -h rf^'* = /• arc tangz.
Comme le degré du numérateur de la fraction
- v^ — Txirzr, est inférieur de deux unités au deinré du dé-
nominateur, si /x désigne le nombre des constantes a, b, c, . . . , ou a, 6, 7, ... , il suffira de satisfaire k ^ — i condil ions pour rendre algébrique l'expression de x -f- 1 j . Lorsque t et r se réduisent à Tunité, notre formule ne donne pas d'autre courbe que le cercle ; le cas le plus simple est donc celui dans lequel on a
t= (z — a)«+\ T= {z — a)«+*; la formule (1) devient alors
et une seule condition suffira pour que l'intégrale soit
SECTIO» II. CHAPITRE III. 5l3
algébrique. Pouf trouver cette condition de la manière la plus simple, soit u une nouvelle variable et posons
Z -\- i a -^, i Faisons aussi, pour abréger,
(3) ç^^'ir- '■''«" ^^
on aura
dz I n — /
, Tvr =^ — du
{z — i)"'dz "(z-hi)'"-^
Il \a -{- tj
puis
D'après cela, la formule (2) devient
en faisant, pour abréger,
Az=i —, Xfcos» ^- « sm«] ( : ) ( )
On voit alors que la condition pour que x-h ij soit algébrique est
Cette équation en f est du degré /w -f- 1 ; elle a une racine égale à I , et, si /2 est inférieur à ///, elle a m — n racines nulles ; le nombre des racines différentes de o et de I est donc égal au plus petit des nombres m et n ; on reconnaît que toutes ces racines sont réelles, inégales et
s. -r- Alg. sHjf,, 1. 33
5 14 COUnS D'ALGEBRE SUPÉRIRUEE.
comprises entre o et i , en appliquant n fois de suite le théorème de Kolle à l'équation
qui a m racines nulles et /i -f- i racines égales à i . Les racines nulles de Téquation (4) ne peuvent nous convenir, car, pour Ç = o, la formule (3) donne a = — / ou a =:^ -f- i\ mais Tune de ces équations entraîne l'autre, puisque a et a sont conjuguées ; les facteurs z — a, z — a deviennent 5 -f- I, z — i; par suite on retombe sur le cas où les polynômes ^ et t se réduisent à Tunité. Pour ^ r^ i Téquation (3) donne a = a, et la formule (2) se réduit encore à celle que donne Thypothèse t = r =^i
Mais à chacune des racines ^ comprises entre o et i répondent, pour a et a, des valeurs imaginaires et conjuguées Tune de l'autre. Remarquons d'abord qu'on peut supposer
(5) fla=:l
sans diminuer la généralité de la solution, car on ramènera le cas contraire à celui-là par un changement de variable. 11 suffira effectivement d'écrire " au lieu de 2,
en prenant pour « l'une des racines de l'équation
a -h' CL
aoL — I
par la transformation dont il vient d'être question la formule (2) devient
a^ et ai ayant les valeurs suivantes :
\-\- ng 1 -r ai
SECTION II. CHAPITRE III. 5l5
d'où l'on conclut «i «i == i. On peut donc admettre l'équation (5) et de cette équation combinée avec (3) on tire alors
a z=z -î -ri
