C=:AB

Enfin, si m est inférieur à n, et que Von désigne par A le déterminant forf né en prenant m colonnes verticales du tableau (a), par B le déterminant foiTné av^ec les colonnes correspondantes du tableau (i), de manière que B 5e déduise de A par la transposition des lettres a et A, on aura

Ci^VaB,

le signe\ embrassant autant de produits AB que Von

peut former de combinaisons av^ec n choses prises m à m.

542 couKS d'algèbre supérieuhe.

En effet, si Ton représente, pour abréger, par

la valeur de c/,a> le terme principal du déterminant C sera

chacun des m nombres X, fx, v, ... devant recevoir les valeurs i, 2, ...,«; on peut écrire aussi

Cela posé, pour avoir le déterminant C, il faut ajouter à ce terme principal, avec un signe convenable, tous ceux qu'on en déduit quand on échange entre eux, de toutes les manières possibles, les seconds indices des lettres c, en laissant invariables les premiers indices. D'ailleurs, parées substitutions, les deux indices de chaque lettrée restent invariables dans l'expression de c/^^, et les seconds des indices des lettres b changent seuls. On a donc, par la formule précédente,

C ~y ( ^^.1 ^pt.2 ^v,3 • • • /^ :^ h.\ ^(1,5 ^v,3 ... ! * ou

en posant

Dans cette dernière formule les m indices X, fx, v, ... sont invariables, et cqmme chacun d'eux doit avoir Tune des n valeurs i, 2, ..., /z, on voit que, si m est supérieur à 71, deux au moins des indices X, j:/, v, ... seront égaux

entre eux ; il y aura donc deux colonnes verticales identiques dans le déterminant ofb et Ton aura \)b = o, d*où

Si l'on Si m = 71, le déterminant "Ub sera encore nul, à moins qu'on ne prenne pour la suite

X, (A, y, . . . celle des m nombres

I f ^f Of • • • y ffl y

dans ce cas, soit s le nombre des transpositions qu'il faut effectuer dans cette dernière suite pour la faire coïncider avec la précédente, on aura évidemment

Db:-= — i)'B, et, par suite,

Or il est évident que la somme contenue dans le second

naembre de cette formule est égal au déterminant A des

quantités (a); donc