AB

C n=y AB,

le signe \ embrassant tous les produits AB qui répondent aux systèmes de valeurs oue

Ton peut attribuer aux indices X, |;jt, v, . • . .

Remarque. — Si, au lieu de définir les quantités C| j^ comme nous Tavons fait, on pose

le déterminant des n? quantités c/^^ est égal à zéro quand m est inférieur à n. Lorsqu'on a m = /i, ce déterminant est égal au produit des déterminants formés, Tun avec les quantités a, l'autre avec les quantités b. Enfin, lorsque 771 est ^/2, le déterminant des quantités c/^^ est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le déterminant formé avec ti lignes horizontales quelconques du tableau (a) par celui qui est composé des lignes correspondantes du tableau (6).

Effectivement, on fera rentrer cet énoncé dans celui du théorème que nous venons d'établir, si Ton dispose les tableaux [a) et [b) de manière que les lignes horizontales deviennent les colonnes verticales, et qu'on change les lettres iti et n Tune dans l'autre.

Corollaire. — Soient 77in quantités ai^k» l'indice i

variant de i à n et l'indice k de t à m. Si Von a m <C ou ---. n et que l'on fasse

le déterminant des quantités c sera égal à la somme des carrés de tous les déterminants que Von peut former av^ec m^ quantités a composant m colonnes verticales du tableau formé ai^ec les quantités a, c'est-à-dire que Von aura

le signe S se rapportant à toutes les combinaisons r\ r^\ . . . , /•*'"' des nombres i, 2, . . . , n, pris m à m.

Pour démontrer ce corollaire, il sulïîl de remarquer que les déterminants représentés par A et B dans le théorème précédent deviennent ici égaux entre eux.

245. Le théorème que nous venons d'établir conduit à de nombreuses conséquences dont on verra le développement dans ce qui va suivre. Mais nous ne pouvons nous dispenser ici de remarquer qu'on en déduit immédiatement ce théorème d'Euler.

Théorème. — Le produit de deux sommes de quatre carrés est lui-même la somme de quatre carrés.

On a, en effet, d'après le théorème du n° 244,

— ,«1.1 *i,t H'^j.t ^î,î) {^ut ^lA -^- «f,t ^f.l)»

Cette égalité ayant lieu identiquement, soient

Pi q. r, s

S. — -^iff' sup't 1* 35

546 COURS D*ALr.ÈBTlE SUPÉHIEURE.

huit quantités quelconques et posons

«2.2 ---t-a — b si— 1 , ^»,,, = -f- /? — 7 ^ — I , «i,j — -l- ^ -h^ V^—i, ^,,, =-f-r4- ,v ^

«2.1 =— c -\-d\j—i, ^5,1 =— r-+- .^ y — i; notre identité deviendra

= ; ap — bq -^ cr —^ ilsY -\- [aq -\- hp — es — àrf -\-[iir — bs — cp -4- dqY -^ [as •+- br -h cq -^ ^^P ]'^

ce qui démontre le théorème énoncé.

1; convient de remarquer que Tégalité précédente peut être écrite c!e plusieurs manières différentes, car on a le droit de changer de signe de Tune quelconque des huit quantités a, A, c, dy p, q^ /', 5.

Des fonctions entières et homogènes du deuxième

degré.

24(î. [Nous avons fait connaître au n'^ 192 une [>ropriélé iiiiporlanle des fonctions homogènes du deuxième degré; cette propriété et les notions que nous venons de présenter forment la hase sur laquelle repose ranalvsc que nous nous proposons de développer ici. On reconnaîtra toute l'importance de celle analyse, en étudiant les conséquences que l'on en tire pour la théorie des équations

Soit y une fonction entière et homogène du deuxième degré des /// variables

ni'

Nous représenterons indifféremment par ?.^/,y ou laj^i le coeflicient du produit des deux variables distinctes

jTi, Xj\ quant au coefficient du carré de Tune des variables Xij nous le désignerons par a^. Diaprés celte notation, Texpression de/" sera

i=im j=:m

avec la condition

Ainsi, dans le cas de deux variables, on aura

Désignons par m nouvelles variables, et posons

/ .rj = ai,i X, H- a,,, Xj -h . , . 4- «;„,, X;,,, 1 .r^ ::= ai,j X, -f- aj,j X, -+-... -r- a,„,j X,»,

les quanlitcs cxij étant des constantes arbitraires. Si Ton substitue ces valeurs dans-Texprcssion (i) de /", celle-ci se changera en une fonction F des nouvelles variables qu'on peut représenter par la formule

1 7^ Al j = m

les coefficients A/j sont des fonctions entières des cocfiicients a/j dejcl des coefficients aij\ on a, en outre,

048 COURS d'algèbre supérieurs.

Le déterminant

sera dît le déterminant de la substitution linéaire (2). Si ce déterminant n'est pas nul, on pourra résoudre les équations (2) par rapport aux variables X qui seront ainsi des fonctions linéaires des variables x. Alors chacune des formules (i) et (3) pourra se déduire de Tautrc par le moyen d'une substitution linéaire.

247. Nous avons démontré au n° 192 que la fonction y* peut être exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires, et que, dans le cas général, le nombic de ces carrés est égal au nombre m des variables. Cette décomposition de la fonctiony en carrés peut se faire de plusieurs manières différentes ; cela résulte évidemment du procédé dont nous avons fait usage pour l'effectuer et on le reconnaît immédiatement aussi, quand on emploie, pour le même objet, la méthode des coefficients indéterminés. Effectivement, si l'on pose

^\ H- A,,pi JT, -f- . . . -f- A,„.^ T„

que l'on effectue les opérations indiquées dans le second membre, et qu'on égale entre eux de part et d'autre les coefficients des termes semblables, on formera seulement

équations de condition, tandis que le nombre

des indéterminées A^^j^ est égal à m*.

Considérons l'un quelconque des systèmes de valeurs

des indéterminées A^,,^ telles, que Téquation (i) ait lieu identiquement. Posons

Xm^: Ai,,„Xi-f- Ai,m^t-^ . . . -t- A

on aura

/=XÎ+XÎ-f-

in

Si le déterminant

Ai,i A,,i p Ai,| Aj,5

Am.î

^nttnt

n'est pas nuly on pourra tirer des équations (2) des valeurs déterminées des variables :c, savoir

^1 — «1*1 Xi -h aj,i Xj -+-.,. -f- a.„^^^ X;„, ^% ~- «i.t^i "■" «î.f X2 -f- . . . -h a,/i,jX^4,

•^/n^^*l,mXi-4-aj,;„Xj-|- . . . -f- ^m.mXmt

et, en conséquence, la réduction de la fonction f à une somme de carrés pourra être réalisée par le moyen de la substitution linéaire (3); il importe d'examiner ce cas avec attention.

La dérivée - — de la fonction àxk

i=zm i=im

par rapport à x^ est égale à la somme des dérivées de ses termes ; or la dérivée de UijXiXj par rapport à Xk est nulle à moins que Ton n'ait i = kouj = k; dans le premier

5ÎO COURS d'algêbiie supériedre.

cas, la dérivée est a^j Xj, elle est ai^k^i dans le second cas; enfin, si i=j = ky cette dérivée est aa^y^XA ou ûA,A J^A-i- «A,A Xk, d'où il suit quc Ton a

2 ()Xf^. ^

Si l'on multiplie par sx^ cette équation (4), qu'on donne ensuite à A" les valeurs i, 2, . • . , m, et qu'on ajoute tous les résultats, on obtiendra la formule

qui exprime, dans un cas particulier, une propriété des fonctions homogènes.

Comme on a aussi, par hypothèse,

il viendra, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à Xa et divisant par 2,

•Jirr/n

La comparaison des formules (4) et (6) donne

ix=l

c'est-à-dire

«<,A = A/.i Aa.i 4- A,,2 Aa,j -f- . . . -h A/.;;, Ait^mt

pour toutes les valeurs des indices / cl k. Si donc on pose

^1,1 ^J.l • • • ^mA

tn,t

on aura (n^ 244, Remarque)

11 résulte de là que le déterminant de la substitution (2) ne peut être nul que dans le cas où Ton a A = o.

Ce déterminant A, formé avec les coefficients des fonctions linéaires