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Of

2 Oxy 2 c/Xj 2 t/r,

joue un rùle considérable dans la théorie qui, nous occupe. AJ . Sylvesler lui a donné le nom à' invariant, qui est adopté aujourd'hui par les géomètres.

D'après cela, nous pouvons énoncer la proposition suivante ;

61 l' inv^ariant cV une fonction homogène du deuxième degré nest pas nul, toute réduction de la Jonction à une somme de carrés pourra être obtenue par le moyen d'une substitution linéaire.

248. La dénomination d'invariant, donnée au déterminant A, se trouve justifiée par la proposition suivante:

Théorème. — Lorsque, dans une Jonction entière et homogène du deuxième degré, on substitue aux m variables des fonctions linéaires de m nouv^elles variables, l'invariant de la transformée est égal à V invariant de la proposée, multiplié par le carré du déterminant de la

553 COURS D^ALGÈBBE SUPÉmEURE.

substitution; en sorte que, si ce dernier déterminant est égal à I, iinv^ariant n'est pas altéré par la substitution.

En effet, la fonction proposée ^^ pouvant, dans tous les cas, être réduite à une somme de carrés, posons

(0 /" /^(<'l.A'^l-^<?Î.A-^î-:--. •-^C|ii.*-'^»i)*.

et considérons la substitution définie par la formule

OÙ fx doit recevoir toutes les valeurs i, 2, ..., //i. Si Ton exécute cette substitution, y se changera en une fonction F, telle que

(3) F = 2^[0x,k^i 4- Cj,^X, H-. . .-i-C,„,itX,„ )*, et Ton aura évidemment

pour toutes les valeurs de i et de Â", ce qui montre que le déterminant dos quantités C/^^ est égal au déterminant de Ci^h multiplié par celui des a/^;t. Mais, si Ton nomme û l'invariant dey, A' celui de F, et D le déterminant de la substitution (2), les déterminants des quantités C/^a> ^/,â

seront respectivement égaux (n°2i7) kyj^'y ^û;donc

on a v/û' :== D s] à ; d'où

ce qui démontre la proposition énoncée.

De la fonction adjointe.

249. C'est ici Toccasion de présenter la notion de la fonction adjointe que Gauss a le premier introduite dans r Analyse.

Reprenons la fonction homogène du deuxième degré

où Ton suppose Posons

ou

et rappelons que Ton a

i s /Il

(5) /=XjX, 4-X,x, -H. .-hX;„x,„= \ X/x,..

Nous nous proposons de résoudre les équations (3) ou ( 4 ) par rapport aux variables x et de trouver la fonction F dans laquelle se change^, lorsqu'on y remplace les variables x par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables X.

Si Ton résout les équations (4) par rapport aux va« riables x, le dénominateur commun des expressions que

Ton obtiendra sera précisément l'invariant A de la fonction y*. Mais je supposerai que Ton calcule A sans faire les réductions auxquelles donnent lieu les équations de condition exprimées par la formule (2), et que Ton opère coninie si les coefficients Uij étaient des indéterminées n'ayant entre elles aucune dépendance. On aura alors, pour rinconnue x/, la valeur suivante :

ou

; = t en représentant par

la dérivée partielle de A prise, par rapport à aj^t, dans rhypolhèsc où les quantités a sont indépendantes.

La fonction cherchée F est égale à la valeur que prend le second membre de la formule (5) quand on substitue aux variables x les valeurs tirées de la formule (6); on a donc

Il est permis, à cause des relations (2), de transposer les deux indices de chaque lettre a dans les équations (4), et, en faisant cette transposition, on aura, au lieu de la formule (6),

jz=m

La comparaison Je cotte valeur de xi avec celle déjà Irouvce montre que Ton a

en vertu des relations (6) ; alors la formule (7) donne

I 1 et, en conséquence, les formules (6) se réduisent à

DcsipTions maintenant par -- la dérivée de A prise

par rapport à ^/,y, en ayant égard aux relations (a). On aura, à cause de la formule (8), si i et y sont inégaux,

et, si j = ij

la formule (7) peut alors être écrite de la manière suivante :

OU

i AF ;= Xj 4- ^ X J -i- . . . -!- \Jn