XX ^""-XX -I- -4 ^^ X X
556 COURS D*ALGÈB11B SUPÉaiEURE.
Le produit ÙF de la fonction F par l'invariant A est ce que Gauss a nommé Isl Jonction adjointe de la fonction y.
Soit A' l'invariant de F; comme la fonction y se déduit de F, en exécutant dans celle-ci la substitution (3), dont le déterminant est A, on a (n°248) A = A' A», et. par cons('<j!i(>r)t,
il résulte de là que Tinvariant de la fonction adjointe AF est égal à A"»"*.
250. Pour trouver la fonction F, on peut suivre une autre marche que nous devons indiquer, parce qu'elle nous conduira à une conséquence importante. Il est évident qu'on atteindra le but proposé, en éliminant les m variables x entre les m équations (4)) savoir :
- /— = Xi ou
et l'équalion
(l?.) F = Xia:|-r- X^JT,- -. . 4-X;„.r^ =1 \ X,-.r,.
Pour faire cette élimination, multiplions les équations (4) par l'équation (12), nous obtiendrons m équations qui se déduiront de la suivante :
\ ( f «i.y — ^i Xy ) .r,-= o,
en donnant à / les valeurs i , 2, . . . , m. Les m équations \^iSj sont homo^ùncs par rapport aux variables x\
donc, pour éliminer ces variables, 11 suffît d'égaler à zéro le déterminant des m^ quantités
(l4) Fa,,y-X,Xy.
Ce déterminant peut se conclure très-facilement de celui des quantités Fa/^y, lequel est égal à F*" A. En effet, Tindice 7 étant le même pour tous les termes d'une môme ligne horizontale, il est évident que deux lignes quelconques du déterminant X/Xy sont formées de quantités proportionnelles; dès lors, d'après ce qui a été établi au n° 243, le déterminant des quantités (i4) s'obtiendra en retranchant du déterminant des quantités Fa/^y chacun de ceux qu'on en déduit quand on y remplace successivement chaque ligne horizontale par la ligne horizontale correspondante du déterminant des quantités X/Xy. Or, en conservant les notations dont nous avons déjà fait usage, on a
et si l'on remplace par
XiXy», XjXy, .«., X;,j Xy,
on obtiendra pour résultat
donc, pour avoir le déterminant des quantités (i4)) ^ suffit de faire la somme des valeurs que prend l'expression (i5) quand on donne à y les valeurs i, 2,..., m, et de retrancher ensuite cette somme de F"* A. Si enfin on égale à zéro la différence obtenue et qu'on supprime le facteur F"'" * , on aura une équation qui donnera précisé-
ment pour F la valeur (y) trouvée plus haut et de laquelle nous avons conclu Texpression définitive (lo).
2i51. Voici maintenant la conséquence que Ton lire de la méthode précédente. Si Ton pose
les équations (i3) seront évidemment
d'où il résulte que le déterminant des quantités (i4) n'est autre chose que l'invariant (D de f considérée comme fonction des variables x^, Xo, ..., Xm» Cela étant, considérons la substitution quelconque
.Tj —ai^i.r^ -+- a^.i .'\' -f-. • -H a^.j.r^,
'Oi . '0) , . -o»
, -r rr r'^'-U rt t-'°' ■ i -y ».'^'
1 ''^m — «l,//i'| ~T~'*2,m-'^i -1-.- ' ^m.rn' ,fi*
dont nous désignerons le déterminant par o. Par cette substitution, y'se changera en une fonction y ^^^ que nous représenterons par
* = /« j=.nt
(.7) /c«) = ^ ^ «'^.>.rv»,
et si l'on pose, en outre,
^1 =^ ^\.\ X-i -}- a, ,5 Xj -}- . . . -H «1,^ X^,
s Q\ ! ^« ^^ «2,1 Xi 4- «2.2 Xj 4- . . . -f- «î.mX,.,,
SECTION II. — CHAPITllE IV. 5^9
la fonction cj» se changera en une fonction o-®^ ayant pour valeur
et dont rinvariant sera égal k Q$^, L'équalion
CD = o,
qui peut servir pour calculer F, s'obtiendra donc en égalant à zéro l'invariant de (f ou de ç^^^ à volonté.
En employant successivement ces deuxinvariants, on conclura deux valeurs de F qui devront être identiques, et il en résulte ce théorème :
La fonction F reste im^ariable, quand on j remplace les coefficients aij par a^^\, pourvu qu'au lieu des variables Xjji on mette en même temps
Supposons que la substitution fi6) soit choisie de manière à rédiiircy à une somme de carres; l'équation (17) prendra la forme
(19) /(«) = «, X™" + ,, xr + . . . + .„, .C;
il est évident que Tinvariant de/^^^ est égal au produit c< ^2. . . 6m et l'on a (n" 247)
ce qui montre que, si l'invariant A est différent de zéro, ainsi que le déterminant de la substitution (16), aucune des quantités £ ne pourra être nulle. On tire de l'équation (19)
5t>0 COURS d'iLCÈBUE SUPÉaiEtJRB.
et en substituant, dans la même équation (ig), les valeurs de xf\ xj^', ..., tirées de ces' formules, il vient
Cela étant, pour avoir la fonction F, il sufïit, d'après ce qui précède, de substituer à X'°*, XJ^', ..., dans la formule précédente, les valeurs tirées des équations (18). On aura donc, en se servant de la formule (20) et en conservant les variables X^^^ qui sont des fonctions linéaires des variables X,
Supposons maintenant que Tinvariant A soit nul; d*après la formule (20), l'une au moins des quantités e sera nulle, et par conséquent tous les termes du second membre de la formule (21) disparaîtront à l'exception d'un seul. Ojë peut conclure de là cette proposition :
Théorème. — Si Vinv^ariant A d' une fonction homogène du dcuxicme degré est nul, la fonction adjointe AF est un carré parfait.
232. Exemples. — Considérons en premier lieu la fonction homogène
/= Ax* H- 2B^/ -f- C7* des deux variables x et j\ On aura
l^-/^ = Aj:4-Br = X, 2 ôx
rinvariant A a ici pour valeur
et Ton a
ex — BY A Y - BX
en substituant ces valeurs dans l'expression de fj on obtient la fonction adjointe AF, savoir :
aF = ex* — 2BXY -f^ AY«.
On vérifie immédiatement, dans ce cas simple, la proposition démontrée à la fin du numéro précédent; car, si A = o, la fonction proposée f et la fonction adjointe AF sont évidemment des carrés parfaits.
Considérons en deuxième lieu la fonction homogène '
/z=z Ax* -f- A'^ * -+- A" s* -+- 9.Byz -t- 2B'jcz -h 2B"xr des trois variables Xy y, z. On a ici
1 ^^^B'x + Bj 4- A"z=rZ,
i'4^=: A.r 4-BV-i-B'3 = X,
1^=: B"X -4- A'jr -f- BZ =: Y,
et
/= Xa:4- Yj4-Zs.
L'invariant A a pour valeur
ou
A = A A' A" -+- sBB'B" — AB« — A' B'* - A'^B''»,
f se réduira à une fonction des m — i variables
et nous désignerons par ^m^i l'invariant de cette fonction. Il est évident, par ce qui précède, que l'on aura
nous admettrons que cette formule subsiste pour i= m — I , ce qui revient à poser
Aj 1= tj.
On aura, d'après cela,
Al =9u A, - - £i «j.
d*oii l'on tire
il résulte de là que la fonction y peut être représentée par la formule
/=A,xî+^xî+|'x5+...-t-^x;;.,
X|, X2, ..., ^m étant des fonctions linéaires des variables a:<, X2, ...jXm' M. Hermite a tiré de cette formule, comme on le verra plus loin, des conséquences de la plus haute importance.
Nous avons supposé que les coefficients de la fonction / étaient des constantes indéterminées; mais il est évident que tous les résultats qui précèdent subsisteront quand on donnera à ces coefficients des valeurs particulières quelconques, pourvu cependant qu'aucun des invariants
Al, Aj, ..., A^
ne se réduise à zéro.
Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes du deuxième degré à coefficients réels.
254. Dans l'étude que nous venons défaire, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature des coefficients des fonctions que nous avons considérées. Nous supposerons ici que ces coefficients soient des quantités réelles ; alors y en appliquant le procédé du n® 192 à une fonction entière et homogène du deuxième degré, y*, pour la réduire à une somme de carrés de fonctions linéaires, il pourra arriver que quelques-unes de celles-ci contiennent le facteur yj — i . En d'autres termes, la fonction y* sera exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, multipliés par certains coefficients positifs ou négatifs.
On peut dire, avec M. Ilermite, que deux fonctions entières et homogènes du deuxième degré sont de même espèce, lorsque, ces fonctions étant exprimées par des sommes de carrés, le nombre de ces carrés dont le coefficient a un signe donné, est le même dans l'une et dan6 l'autre fonction.
Cela posé, nous présenterons ici une proposition fort importante avec la démcmstration qu'en a donnée M. Ilermite.
Théorème. — De quelque manière qu'on transforme un polynôme homogène du deuxième degré à coefficients réels et dont Vinv^ariant nest pas nul, en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.
Soit
/(«Il «1» ..-1 ««)
xfxe tonction entière et homogène du deuxième degré des Tc «-irijibles
^S dont l'invariant A ne soit pas nul. Dans cette hypo- :hè>ï\ toute réduction de y à une somme de carrés pourra, ci^nime on sait, être réalisée par le moyen d'une substitution linéaire et réelle dont le déterminant n'est pas nul. Supposons donc que, par la substitution réelle,
(i) ''(i = /^ «x,,i -rx,
on obtienne
i& = /it
e,A étant un coefficient réel positif ou négatif; et qu'une autre substitution réelle,
(3) iiy,=2 \ax,^Xi,
donne
(4) /= ^Ei*X*,
E.^ étant encore un coefficient réel. Il s'agit de prouver que dans les deux suites
•il 'lï • • • » ^m»
JL|, Ljt ...» •t'/ni
il y a un mi^me nombre de termes ayant un signe donné. Supposons négatives les quantités ei, e^y -•., s/ <^t po-
SECTIOIf II. — CHAPITRE IV. 567
sitives les suivantes e/^i . . . . , e^ ; supposons aussi que E|, E2, . . . , Ea soient négatives et que Ejt^i, . . . , E;„ soient positives; dans le cas où toutes les quantités e ou E sont positives, on aura i= oouA= o. Nous allons démontrer qu'il est impossible que les nombres i et A' soient inégaux; par exemple, qu'on ne peut pas avoir A^i. Admettons effectivement cette hypothèse dcA'^i et examinons les conséquences qui vont en résulter. On a ridentité
(5) ^vX;=.^E,Xj.
Fi=l i*=l
les variables x étant liées aux variables X par m équations qui se déduisent de la jsuivante :
"k^m X=zm
(6) \ai,^.Ti= \ Ax,s.Xî„
en donnant à ^ixles valeurs i, 2, ..., m. Le déterminant de la substitution (i) n'étant pas nul, il est évident que les équations (6) pourront être résolues par rapport aux variables Xy et la même chose aura lieu encore si Ton écrit partout
au lieu de x^ et X^., ±t^ et ±E^ désignant les valeurs absolues de s^ et de E^. Alors l'équation (5) devient
I =[x;+xî-i-...+xi]-i-[xi^,+xî,..+...H-x;;,],
et cette équation (7) doit se réduire à une identité, parle
moyen d'une substitution linéaire telle que
(8) x^= \ ax,,*Xx.
Cela posé, soitcf un angle indéterminé; la formule (7) ne changera pas si Ton remplace X| et Xj respectivement par
Xjcosç -f- Xj sinç, Xisin^ — X^cos^,
lorsque le nombre À" sera supérieur à i . Mais alors l'indéterminéef s'introduitdansleséquations(8)yetronpeut en disposer pour faire disparaître X| de Texpression x^. On a effectivement
^i = («1,1 cos<p -h a,.i sinç) X, -j- (aj., sintp— a,,j cosf )X, -f- . . . ,
et, pour remplir Tobjet demandé, il suffira de déterminer (f par la relation
«1,1 cos^ -h «J,! sin ^ =7 o.
Ainsi, par un changement de notation qui ne change ni
Téquation (7) ni la forme delà substitution (8), on peut
faire disparaître Xi de Texpressionxi ; en d'autres termes,
on peut supposer
i^areillement, lorsque /restas, Téquation (7) ne change pas, si Ton remplace Xa et X3 respectivement par
XjCos^ -f- X3 siny, XîSiny — Xjcos^,
et l'on peut disposer de la nouvelle indéterminée o pour faire disparaître Xo de l'expression de Xt . Il suffira, en effet, de déterminer cet angle (f par la formule
«2, 1 cos Y 4- a,,! sin ^ -^ o,
SECTION II. CHAPITRE IT. S6g
et il esl évident qu'on peut continuer la même série d'opérations sans changer l'équation (7), ni la forme réelle de la substitution (8), jusqu'à ce qu'on ait fait successivement disparaître les variables
de Texpression de Xt .
Cela étant établi, on voit que, par une série d'opérations toutes semblables, on pourra faire disparaître les variables
de l'expression de X2' Comme nous nous arrêtons ici à Xa 2 et que la dernière opération consiste à remplacer Xa«2 et Xa»i respectivement par
X;t-2 costf -+- Xx i siny, ^k—t ^^^? — ^k-i ces y,
on ne verra reparaître dans x^ aucune des variables que l'on a d'abord fait disparaître de son expression.
On peut opérer de la même manière à l'égard des variables X3, x^, . . . , xiç^i ; l'expression de x^ ne contiendra plus les variables X|, X2, ..., Xa«3, la dernière variable xiç^i ne renfermera plus X| . Ainsi l'on aura
«1,1 =0, aj,, =0, ..., a^^i,i=:0, «i.î - - O, a,,, =0, ..., ai,,, = 0,
Le nombre k étant supérieur à i, si l'on substitue les valeurs (8) des variables x dans l'équation (7), et qu'on égale de part et d'autre les coefficients de XJ, on aura
et cette équation ne peutélre évidemment satisfaite par des valeurs réelles des quantités a. On ne peut donc ad<-
Syo COURS d'algèbre supérieure.
meure rinégalité des nombres i et /r, ce qui démontre la proposition énoncée.
Théorème de M. Syluester relatif aux fonctions auxquelles conduit l'application du théorème deSturm,
255. Le théorème dont il s'agit ici a pour objet de faire connaitre l'expression algébrique des fonctions qui interviennent dans l'application du théorème de Sturm à une équation donnée. M. Sylvester l'a publié sans démonstration dans le Philosophical Magazine (décembre 1839); ^^ Sturm l'a établi ensuite dans un article qui fait partie du tome VII du Journal de Ma» thématiques pures et appliquées. Nous présenterons la démonstration de Sturm en y apportant quelques simplifications dont l'illustre géomètre a d'ailleurs indiqué la principale en terminant son Mémoire.
Le théorème de M. Sylvester peut être énoncé comme il suit :
Théorème. — Soit Y = o une équation quelconque du degré m à une inconnue Xj dans laquelle, pour plus de simplicité, le coefficient dex^ sera pris égal à l'unité^ et dont les racines supposées inégales seront désignées par ajhjC, . . . , A, /. Soit V< la dérii^ée de V. Concevions qu'on cherche^ par le procédé ordinaire, le plus grand commun div^iseur deY etYiy en ayant soin de n'introduire et de ne supprimer aucun facteur indépendant de x, et en changeant toujours les signes des restes aidant de les prendre pour dii^iseurs. Désignons par V2, V3, ..., V» ces restes pris a\^ec des signes contraires dont les degrés, par rapport à x, sont respectivement m — 2, m — i,...; i^Oy dajis le cas général. Les polynômes
V, Vj, Vj, . . ., V
SECTION II. CnAPITRE IV.
s* exprimeront en fonction de x et des racines ajbyCy . .., kj l de l'équation Y = o, de la manière suivante :
V4 = ^ y [n—by [a-cj^ (û-</)« [b—cY (b—d)* [c—d^ [x—e],„[
/e5 quantités Xj, Xj, ..., i^ e'taw^ déterminées par les formules
Pi = m,
;,^=:Y(a-6)«(«-c)»(a-rf)»(6-c)»(*-rf)«(c-^)«,
■ /»«•=(«-*)'(«-«)'• ..[a-l]*[b-e*. . .[k-iy.
et chaque somme \ représentant une fonction symé^
trique des racines dont tous les termes se déduisent, par les substitutions, de celui qui est écrit sous le signe,
La première des formules (i) exprime la composition de réquation proposée, et la deuxième a lieu par un théorème connu. Il reste à établir les suivantes.
Soient
Ql» Qîi • • •«• Qm— l
les quotients que fournit la recherche du plus grand commun diviseur ; ces quotients seront du premier degré en X, dans le cas général, et Ton aura
V =ViQ,-V„
' m— î — "m— 1 Qm— 1 ' «•
Au moyen de ces formules, on peut exprimer successivement
en fonction des polynômes V, V| et des quotients Q ; on trouve ainsi
et il est évident que Ton aura généralement
