V^=V,S^-VT

S^ etT^ étant des polynômes des degrés fx — 1 et p — 2 respectivement.

SECTION II. — CHAriTRE IV. Sji

Si Ton écrit y (x) au lieu de V,y(x) au lieu de V^ la relation (6) prendra la forme

il résulte de là que, si Ton donne successivement à x les m valeurs

/Z, Oy C, • • • t '«*« »|

la fraction rationnelle

prendra les m valeurs correspondantes

d^ailleurs les degrés des polynômes V^, S^^ sont respectivement m — fx, yi — I et la somme de ces degrés est m — I. On pourra donc déterminer la fonction (8) par la méthode qui a été exposée au n" 232.

Supposons que h occupe le (ji*^"*' rang dans la suite des 771 racines

{9) «» ^> ^» • • -1 ^» gf ^1 '\ • -1 y» ^s ^;

d'après la formule générale du n**232, les polynômes V^ ctSj, seront égaux respectivement, à un facteur constant près, savoir : le premier,. V^, à la fonction symétrique des racines (9), dont l'un des termes a pour valeur

et le second, S^, à la fonction symétrique des mêmes racines dont l'un des termes est

Or on a

et il résulte de ces formules que les produits

/•{a)f{b)...f(h), /'(a)/'(b)...f(g] ont respectivement pour valeurs

(,) * [(a-by{a-c)K..(g-h)*][{a-i]...{a-l)]...[{h-i)...(A-l)],

{!) * [{a-bY(a-c)K..(e-g)^][{a-h)...(a-l)]...[{g..A)...{g-l)]i

alors on aura, en désignant par 1^ un facteur indépendant de Xy

(io){ '"^

S, = ~^2,^a-b]*[a-cY...(e-g)*{u;~a){x-b)...C^-S);

il est évident (n^232) que, dans le cas defji=: w, ces formules doivent être réduites à

(il) \

il faut remarquer aussi que, pour fji= i, les formules (lo) se réduisent à

et que Ton doit faire en conséquence X|=i.

On voit, par la première (les formules (lo), qu'il ne nous reste plus qu'à déterminer la constante i^. A cet effet, substituons, dans Tcgalité

les valeurs de V^ et de V^i tirées de la formule (6) et de celle qu'on en déduit par le changement de /i enfx — i , on aura

V,^, = Vas,Q,-S,.,)-V(T,Q,-T,0, d'où il suit que l'on a, par la notation convenue, ( 1 4 ) S,t^.i = S^ Qj4 — S,x-i .

Les formules (i3) et (i4) donnent

d'où, par la multiplication,

et Ton conclut de là, pour x =qo , Ainsi les fonctions

S,xV,^i

SjjiVj4 i Sji|Vjfc j Si V

se réduisent à l'unité pour .r = oo , et il en sera de même du produit de ces fonctions; en sorte que l'on aura

S. V lim'-!^^^ = i (pourx = oo).

576 corRS d'algèbre supérieure.

Or le terme du degré le plus élevé en x dans le produit S^^,V^ a pour coefficient

ou

Pi

en adoptant les notations exprimées par les formules (3); on a d'ailleurs S| =1, d'après les formules {12), et le coefficient de x'" dans V est égal à i . L'expression précédente se réduit donc à l'unité, et l'on a

il est évident que, dans le cas de fx = i , le second membre de cette formule doit être remplacé par m*, ce qui est conforme aux formules ( 3 ) . On a donc

d'où l'on conclut immédiatement les formules (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

Il faut remarquer que la quantité pm ne figure pas dans notre analyse, mais nous introduirons cette quantité dans ce qui va suivre, et c'est pourquoi nous l'avons comprise dans le tableau (3).

256. Nous allons faire connaître maintenant une conséquence importante du théorème de M. Svlvester.

Les quantités />!, p^-» p^y -•-, sont des fonctions symétriques et entières des racines de l'équation V = o, et en conséquence elles sont exprimables rationnellement par les coefficients de V. Si donc ces coefficients sont réels, Pi, /^2» Pzy ••• seront aussi des quantités réelles; dès lors les facteurs /.2, /a, ... ?v« seront des nombres essen-

SECTION II. CHAPITRE IV. Sj'J

tiellement positifs, et Ton pourra les supprimer des formules (i) lorsqu'il sera question d^employer les fonctions V, V'o Va, ..., pour la recherche du nombre des racines réelles de Téquation V = o qui sont comprises entre deux limites données.

Cela posé, si N désigne le nombre des racines réelles de Téquation V=o, N sera égal, d'après le théorème de Sturm, à l'excès du nombre i^o des variations que présente la suite V, Vo Va, ..., pour x = — oo , sur le nombre î^i des variations que présente la même suite pour j: = -h 00 , et il est évident que i^o et r, expriment aussi les nombres de variations contenues respectivement dans les deux suites

I» —Pu -^Pi^ • •. -^ (—»)'"/''»♦

'» Pli Pii • • •» Pm*

La somme «'o -*- ^t est évidemment égale à m ; on a, par conséquent,

d'où

ai^i est donc le nombre des racines imaginaires de l'équation proposée, et de là résulte ce théorème :

Le nombre des couples de racines imaginaires de V équation V = o est égal au nombre des variations de signes que présente la suite des quantités

^9 Pif Pi^ • • "> Pm*