Considérons les m équations
^m,i^my
^m,m^ntt
dans lesquelles les coefficients a sont des constantes réelles données satisfaisant à la condition
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux variables x; et, si Ton désigne par F le déterminant
mA
SECTION II. CHAPITRE IV. 58l
l'équation en g^, F = o, qui est du degré w, sera le résultat de Télimination des variables x entre les équations (i). Cette équation comprend comme cas particu tiers celle dont dépend la recherche des axes principaux des surfaces du deuxième ordre, ainsi que celles au moyen desquelles on détermine les inégalités séculaires des éléments elliptiques des corps célestes.
Nous nous proposons ici de démontrer une propriété fort importante de Téquation F = o ; elle consiste en ce que toutes les racines de cette équation sont réelles. On possède plusieurs démonstrations de cette proposition; mais la plus remarquable est celle que Borchardt a présentée, dans le Mémoire que nous avons déjà cité, comme une application du théorème de Sturm. D'après ce théorème (n** 257), la réalité des racines d'une équar tien dépend des signes de certaines quantités que l'on sait former; dans le cas qui nous occupe, il se présente cette circonstance singulière, que chacune des quantités dont il s'agit est une somme de carrés. Nous croyons utile de reproduire ici la belle analyse de Borchardt.
Multiplions chacune des équations (i) par g et substituons, dans les seconds membres, à gx^^ gx%y ..., gXm leurs valeurs tirées des équations (i) : nous obtiendrons le nouveau système
1 •'-mi
OÙ
g^ ^1 = «1.1 x^ H- a, 1 .rj H- . . . -h a^^
58a cooRs d'algèbre supérieure.
Si Ton multiplie chacune des équations (a) par ^el que Ton substitue à gx^f gx^j • • • leurs valeurs tirées des équations (i), on obtiendra un troisième système d'équations qui se déduira du système (i) en remplaçant g par g^ et les quantités aij par
En continuant ainsi, nous obtiendrons le système d'équations qui correspond à la puissance r^*"* de g :
g'' j;, — «,'^5 jT, -h fltl^i X, -h . . -h £r;îi,, x^.
OÙ
Si Ton multiplie les équations du système (r) parg^''' et qu'on substitue, dans les seconds membres, les valeurs de g'^J^i, g^^T^2i •••> tirées du système d'équations (/''), le résultai obtenu devra être identique avec le système d'équations (/'-+-/''), et l'on aura, en conséquence,
OU, en écrivant q et r — ^, au lieu de r et /'',
Cette équation (3) subsistera pour toutes les valeurs de (j moindres que r, savoir, i, a, . . . , r — i ; dans le cas des valeurs extrêmes, on doit supposer
(4) <j = ^ij'
L*équation (3) subsistera même pour les valeurs ^ = o, ç = r, si Ton convient de faire
/ ^ . . ci^j := o, quand / et J sont inégaux,
= 1 , quand / -- y .
Cela posé, revenons à l'équation r = o; le premier membre F est ce que devient le déterminant
lorsqu^on diminue de g chacune des m quantités On aura donc
et, par suite, la somme s^ des racines de Téquation r :^ o sera
En appliquant le même raisonnement au système d*é-
3fi4 COCftS D* ALGÈBRE SCtCKIEUIlB.
niiiLr*.ii> '' '|ui conduit à une éqaation du degré m en ^*.. ipju.s -'btienJrons
i=:iii
,^t. XL'juse de l'équation (3),
tsl
1 = 1 /si
^ avant une valeur quelconque de zéro à r. Soit maintenant, comme au n® 257,
St
Si s.
^ji— 1 •îj* *'îf**l
4li— î
d'apn's l'équation (6), les quantités dont se compose ce di'lerminant peuvent être représentées de la manière suivante :
• » *Ji-4-l
9 5»=: >rt.'; ' ûr:j •• > f
les sommes se rapportant à toutes les valeurs i, a, ..., w
(les indices i et /. D'après cela, si Ton fait
i=.ni j =z m
on aura
Pv^
et, en appliquant aux lAm^ quantités
.(0) JV ^(ï) ^Ci*-i)
ij' ""ij' ^i.y' •••* ^,y
le théorème du n^ 244 (Gokollaire), on mettra p^ sous la forme
i, y, i', /, i'', /', . . ., i(i*-*)^y(i^n représentant a systèmes quelconques de deux indices i, j et la somme ^
se rapportant à toutes les combinaisons fJt à /x des ni^ systèmes i, j.
La formule (7) montre que chacune des quantités p^ est une somme de carrés. Ces quantités sont donc toutes positives; il en résulte, comme on Ta vu au n** 257, que Téquation F = o a ses m racines réelles.
Méthode de M. Herniite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux limites données,
259. Nous nous proposons d'exposer ici une méthode extrêmement remarquable de M. Hcrmite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation, comprises entre deux limites données. Cette méthode
586 couBs d'algèbre supérieure.
repose sur les propriétés des fonctions homogènes du deuxième degré qui ont été établies dans ce Chapitre. Soient
une équation du degré m à coefficients réels, et
ses m racines.
Désignons par t une indéterminée et considérons la fonction homogène du deuxième degré
-h ^- (.ro 4- /xi -♦- /«.r, -♦-...-+- /'«-»;r^-i)«
des m variables a:©, -Ci, • • . , J^m-i« H est évident que y est une fonction symétrique rationnelle des racines de Téquation (i); on pourra donc Texprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et comme ces coefficients sont supposés réels, la fonction y sera également réelle, pourvu qu'on attribue à Tindéterminée «des valeurs réelles. Au reste, on peut calculer trèssimplement les coefficients Uij de la fonction /* ramenée à la iorme
(3) -^"X Za ^'''^^''^J* On a effectivement
or, si Ton décompose la fraction rationnelle
en fractions simples, on trouvera
E(f) étant le quotient entier de la division de V^iY{i) parF(t); donc, si Ton désigne par F,y(«) le reste de cette division, on aura
et, par suite,
(5) a,., = --^^^p f=- 2j Zj V{t)
i =0 / cO
Désignons par A^^t l'invariant def; d'après ce qu'on a vu au n^ 247, cet invariant sera égal au produit de
(a-t)(b-t)...(l-t) par le carré du déterminant
1 a fl' . . . fl'"-*
lequel est égal (n° 239) à
±:(a — 6)(fl — c)...(a — /)(^— c)...(/'~-/);
on a donc
ce qui montre que rinvariant de^ne sera jamais nul si Téquation proposée n^a pas de racines égales.
On peut encore tirer l'expression de A^-i d'une autre considération qui fournit en même temps Tinvariant
de la fonction à laquelle se réduit/*, quand on y suppose nulles les fji — i variables
La fonction dont il s'agit sera donnée par la formule (3), si l'on suppose que les indices i eij ne varient que de zéro à m — yi; la formule (4) donnera les coefficients aijf et, comme elle peut s'écrire
a^j = fl' f- 6* h ...-+-/' »
l'invariant A;„^ sera égal (n® 244) à la somme des produits obtenus en multipliant l'un par l'autre les déterminants formés respectivement avec m — /iz -h i colonnes verlicales des tableaux dont les lignes horizontales sont représentées généralement par
et
chacun des indices i eij ayant les valeurs o, i, 2, .. , m — (X, Si l'on suppose que les racines
a, b, , . .^ gy h
soient au nombre de m — |jt -}- i, le premier des déterminants dont il s'agit sera égal à
zii[a — b){a — c) ... (a — /i) [b — c) . . . [b — h) . . . (g — f^)*
SECTION II. CHAPITRE IV. 5Sg
et le second sera égal au quotient de la même expression par
on aura donc
le signe \ se rapportant à toutes les combinaisons
m — fx-f-i àm — fJt-f-i des m racines a, i, c, . . . , /.
Enfin, si Ton suppose que toutes les variables de/^s'annulent à l'exception de x'o, et qu'on désigne par Aq le coefficient du carré de la variable restante, on aura
La fonction y étant réelle, elle peut être ramenée, comme nous l'avons vu, par une substitution réelle, à la forme
(9) /=A,x;-f--ixj + -ixî -+-...+ -^x,i„,.
260. Cela posé, nous démontrerons, d'après M. Hermite, le théorème suivant :
Théorème. — Etant donnée V équation F(z) = o du degré m, à coefficients réels et dont les racines supposées inégales sont a, i, c, ...,/, soit la fonction homogène réelle
^^ (x, + /:c, -H /»ar, -h . . . + /"-'x».,)»
Sgo COURS d'algèbre supérieure.
des m variables Xof X|, ..., x,»i et dans laquelle t désigne une indéterminée réelle; si, par une substitution réelle, on ramène lafonctionf à une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de V équation F (z) = o, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t.
D'après ce qu'on a vu au n® 259, rinvariant de la fonctionyn'est pas nul, et si Ton désigne par Xo, X| , ..., Xm.1 m nouvelles variables, les équations
' j?o -h flor, -4- fl*x, -h . . . -♦- a'^-^x^^^ = Xç,
pourront être résolues par rapport aux variables x ; en substituant ces valeurs, l'expression de f deviendra
Si toutes les racines a, i, c, ..., / sont réelles, la substitution (2) sera également réelle, et Ton voit que, dans la formule (3), le nombre des carrés affectés de coefficients positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que t. D'ailleurs, toute autre substitution, rcduisantyà une somme de carrés, donnera le même nombre de coefficients positifs (n** 254); donc le théorème énoncé se trouve établi, dans le cas où les racines a, è, . . . , / sont toutes réelles.
Si les racines a, i, c, ..., /ne sont pas toutes réelles, la substitution (2) ne sera plus réelle, mais il est facile d'en déduire une autre qui le soit; car, supposons que in et b forment un couple de racines imaginaires conju-
SECTION II. CHAPITRE IV. 5gi
guëes, et que Ton ait
a r=z r{cosa -h ^ — i sina), b = r(cosa — ^— i sina);
aux indéterminées Xo et X| substituons-en deux autrej Yo, Y| telles que
Xo = Yo 4- Y, v^^, Xi =To - Y, s/=7.
Il est évident que les deux premières des équations (ti) seront équivalentes aux deux suivantes :
jCQ-h- r*i cosa -h r* j:, ces 2a -♦-. . . -♦- r^~*^^-.i cos (m — i )a =:i Y©, /•j-isina-+-r*x,sin2a-h... + r^— *jr^«isin(/n — i)a:=Yi,
lesquelles ne renferment que des quantités réelles. On opérera de la même manière pour chaque couple de racines imaginaires, et il est évident que la substitution (a) deviendra réelle par le simple changement de Xo, X|, ...,
en Yo -h Y, yj— i , Yo — Y, ^— ~î ,
Les deux racines imaginaires conjuguées a ei b donneront dans / la partie
~-, ( Y, + T. v/^)* + ^, (Yo - Y, Virr)»; rindéterminée t étant réelle, posons
— — ^^p(cOSy-*-^— ISin<p), --— ^=:::p(c08^ — V— "Sinç).
la partie de^ que nous considérons deviendra P [(ces l-^y/^ sin ^ {Y, + Y, v="ô]'
