p [(ces l ~ V=Tsm î) (Yo - Y, ^^ T)]', ou bien

2p( Yocos- — Yisin - ) — 2pf Ygsin - -♦- Yicos- j y

Sgil COURS D*ALGÈBRE SUPÉBIEUllB.

ce qui montre que, par notre substitution, deux racines imaginaires conjuguées introduisent dans /deux carrés dont Tun est affecté d'un coefficient positif et Tautre d^un coeflicient négatif.

On peut donc conclure que toute substitution réelle qui ramènera f à une somme de carrés de fonctions réelles introduira autant de carrés affectés de coefficients positifs qu'il y a d'unités dans le nombre des racines imaginaires de l'équation F(z) = o, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à i; ce qui est précisément le théorème énoncé.

CoROLLAiKE. — Si 1*0/1 désigne par {t) le nombre total des carrés aJJ'ectés de coefficients positifs dans la fonction/^ le nombre des racines de Inéquation F(z) = o comprises entre deux nombres donnés to et ti > t^ sera égalà(to)-'{tt).

Car, si l'on désigne par No le nombre des racines supérieures à <o> par N| le nombre de celles qui sont supérieures à <i, et par 2I le nombre des racines imaginaires, on aura, par le théorème précédent,

d'où

(^o)-;^i)-=No-N,.

261 . Le théorème de Sturm peut être regardé comme un corollaire du précédent théorème. En effet, les quantités Ao, A|, ..., Afn^i étant définies comme au n^259, la fonction y* peut être mise sous la forme

/r=: Ao X; 4- ^ Xî -^ . . . ^ ^ X,î.., ;

le nombre désigné par (t) exprime donc combien il y a diB quantités positives dans la suite

ào ^\ A, ^,rt-\ — , — , — , •••> •

SECTION II. CHAPITRE IV. SqZ

Nous avons donné au n° 2o9 les expressions des invariants A,„j^, et l'on voit, en se reportant à ces expressions et au théorème de M. Sylvester, que si Ton désigne par Vf la dérivée du polynôme V — F(f), et par V2, V3, . . . , V;;, les restes changés de signe que Ton déduit de V et V|, par l'opération du plus grand commun diviseur, on a

donc le nombre {t) exprime aussi combien il y a de quantités négatives dans la suite

Ci il est égal, en conséquence, au nombre des variations contenues dans la suite

V, Vl, Vj, ... y V,;,.

On conclut de là que le nombre des variations perdues par la suite précédente, quand on passe de t = t^ à t = ti l'-- toy est égal au nombre des racines de l'équation V = o, qui sont comprises entre Iq et t^ , ce qui est précisément le théorème de Sturm. La démonstration nouvelle de ce célèbre théorème est bien remarquable, car on nV emploie, comme le remarque M. Hermitc, aucune considération de continuité.

2G2. J'arrive maintenant à la méthode pratique donn<'c par M. llcrmite pour déterminer le nombre représenté parle symbole [t). D'après ce qui précède, il suffira, pour remplir cet objet, de ramener à une somme de carrés, par une substitution réelle quelconque, la fonction désignée par y et que nous savons former.

S. — ^i^, sup.f I, 38

5q4 cours D^ algèbre SUPÉRlEUBEt

Soient, comme précéderamcnt,

Oj b, c, . . ., / les m racines de Téquation proposée

si Ton fait, pour abréger,

l'expression de la fonction y sera

Désignons par

de nouvelles indéterminées, et posons