Xo H- zX, -I- 3»X, -h ... -h s'"-»X„,

Nous forons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, relativement à Tindéterminée z, ré(|ualion

en égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de z, on formerait les équations nécessaires pour exprimer les variables .r en fonction des variables X, Mais ce calcul ne nous est pas utile, et il suffit de renianjuer qu'en remplaçant z par chacune des racines fl, b, ...,/, l'équation précédente nous donne

r.a fonctiony* définie parTéquation (:>.), se changera dès lors en une fonction S des nouvelles variables, et Ton aura

SECTION II. — CHAPITRE IV. SgS

Celte première transformation étant efTectuée, nous en ferons une seconde, définie par les équations suivantes, où. Zof Zij . . .f Zm désignent les nouvelles variables :

Xo = «m-I -^ Pi *m-J -^Pi «m-8 + • • • -^Pm-i ^Oi

Xi = S;n— t "^ Pi ^/n— 8 -+-••• ~^'Pm^2 *0»

^2 ='- *m— 3 "' ■ /'l *//»—* H- . • . -^Pm—i *o»

Le quotient de F (s) par z — a est évidemment

Pi

Pt

'^~Pm-l^ :

et si l'on remplace, dans cette expression, les exposants de z par des indices de môme valeur, on obtiendra, d'après les formules (4)> le résultat suivant :

Xo -I- aX, 4- rt«X, 4- . . . 4- û'"-*X^«i,

c'est-à-dire ^(«). D'après cela, on peut écrire

pourvu que, les divisions ayant été exécutées, on remplace partout c^, z*y z^y ..., z^''* par Zq, 5,, ..., Zm^^. Pareillement on pourra écrire

t! étant une Indéterminée à laquelle on doit appliquerez qui vient d'être dit relativement à z, en sorte que, la

596 COUBS d'algèbre SUPf.EIEURE.

division faite, on remplacera toute puissance telle que

z^ par z^.

D'après cela, la formule (3) deviendra

le signe \ se rapportant aux racines a^ b, ...,/. Dans

celte formule symbolique, le second membre est une fonction entière des variables z qIz'\ on peutTécrire de diverses manières, et le résultat définitif sera toujours exact, quand, la fonction § ayant été ordonnée par rapport k z ei k z' f on remplacera les puissances -z', ^^ par z,-, Zj respectivement. Cela étant, on a successivement

Viz)¥[z']

y^t — z V*" ^\ Ja^—a Zdz'—a)

On a d'ailleurs

donc on a dénnitivenient

expression de laquelle ont disparu les racines a, i, c,

Donc, pour avoir le nombre représenté par (^), il suffira de mettre le second membre de Téquation (5), sous la forme d'un polynôme ordonné par rapport aux puis-

SECTION II. CHAPITRE IV. t)gy

sanccs de z et de z'. On remplacera ensuite chaque puissance z' ou z'* par z/ et l'on obtiendra la fonction homogène ^, qu'on ramènera à une somme de carrés par la méthode connue; le nombre de carrés affectés de coefficienls positifs sera précisément (t).

Lorsqu'on veut avoir le nombre des racines de l'équation F{z) = o comprises entre deux limites to^ t^ données numériquement, il conviendra le plus souvent, pour obtenir les nombres (f o) et (f i ), d'opérer sur les expressions

(e,-z)r(z)¥{z')-~{ t,-y ]F'iz']¥{z)

dont les coefficients sont tous numériques, et non pas sur l'expression générale qui contient l'indéterminée t.

Exemple. — Supposons qu'on demande le nombre des racines de l'équation

qui sont comprises entre o et i.

On a, dans ce cas, en faisant abstraction du facteur 3,

^ it-z)(z''-r-i){z'^—^z'-^i)-[t-z'](z'^~i]{:^^--3z-^-i^

''-- ^ z-zr,' — '

et cette formule symbolique donne la formule exacte

^= t{— 3zl — ^Z] — z] -\- ZZ^Zi -h 2ZqZ^)