TUÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES
Définition des fractions continues,
1. Désignons par x une quantité positive, rationnelle ou irrationnelle, et posons
a, a^j as,... étant les plus grands entiers qui soient contenus dans x, a'i, X2, . . . respectivement. Le premier de ces nombres a peut être nul, mais chacun des suivants est au moins égal à i .
Si la quantité x est rationnelle, Tun des nombres de la suite x, a*i, X2^ ••• sera entier, et il terminera la suite; carie nombre suivant serait Tinfîni, diaprés la loi de formation. Pour justifier cette assertion, supposons
que Ton ait
A et A| étant des entiers premiers entre eux. Soient A2, A), . . . , A;,, I les restes successifs auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des nombres A et Afy et a, ai, ... , a„.| les quotients fournis par cette opération ; on aura
A=A|rt-+-A2, Ai=A2«i-f-A3, ..., A„i = A„rt;,i-4-i,
d^où, par la définition des nombres Xt, jtz, ,., .y A, A, I
Al A, \n
MaiS; si la quantité x est irrationnelle, aucun terme de la suite .r, x^y X2j . • • ne sera entier ni même rationnel, et Ton pourra en conséquence prolonger cette suite indéfiniment. En effet, si quelqu'un des nombres Jtr,x 1,^:2, ... <îst rationnel, il est évident que tous ceux qui le précèdent le sont aussi.
Si Ton élimine les quantités j'i, x^, • • ., Xn^i entre les n premières des égalités (i), la valeur de x prendra la forme
lorsque x est un nombre rationnel, il existe, comme on vient de le voir, une valeur de n pour laquelle Xn est oo ,
on peut alors supprimer la fraction — dans l'expression
précédente. Il n'en est plus ainsi lorsque x est une quantité irrationnelle, mais il sera démontré que, après la sup*
pression de la fraction — » le second membre de la for-
mule (2) converge vers la valeur de x quand on fait croître le nombre n indéfiniment.
Nous sommes ainsi conduits à étudier les expressions de la forme
OÙ a, ^1, a29 . • . désignent des entiers positifs dont le
nombre est limité ou illimité, et parmi lesquels le premier seulement peut être zéro. On donne à ces expressions le nom àe fractions continues,
Lorsqu^on réduit ainsi une quantité x en fraction continue, on donne le nom de quotients complets aux quantités X, Xij Xj, . . . dont les valeurs sont fournies par les formules (i) ; les entiers a, ai, a2, . . . contenus respectivement dans les quotients complets sont dits quotients incomplets. Enfin on nomme fractions convergentes ou réduites les valeurs que Ton obtient quand on arrête la fraction continue à un quotient incomplet quelconque. Ainsi, dans la fraction continue (3), a est la première
réduite, a H est la deuxième , a H est la
troisième, et ainsi de suite.
On considère, dans certaines questions d'Analyse mathématique, des fractions continués plus générales que celles dont il vient d^étre question et qui ont la forme
^f Aff ^i9 •••» ^iy ^2« ••• étant des quantités quelconques. Mais ces expressions nouvelles ne sont d'aucune utilité pour l'objet que nous avons en vue, et il n'en sera point question dans ce qui va suivre.
De la formation des réduites.
