La première des formules (i) donne

(4) . = fifi±I,

lo couKs d'algèbre supérieure.

et, si l'on remplace x^ par la valeur -^^ — - tirée de la deuxième formule, il vient

on peut de même remplacer le quotient complet x^ par sa valeur tirée de la troisième formule (i), et ainsi de suite. En général, la valeur de x exprimée par le moyen du quotient complet Xn^t, aura la forme

^^' ô — ; — Tw~'

P/i-o Q/î-4> P/î-2> Q«-2 étant des nombres entiers. En effet, on vient de voir qu'il en est ainsi lorsque n — i est égal à I ou à 2 ; et en conséquence, pour justifier notre assertion, il suffit de constater que, si elle s'applique au quotient j:„.|, elle subsiste aussi pour le quotient jT;,. Or, en remplaçant, dans la formule (6), x„^t par sa valeur

«/;-.! H OU —^ 9 il Vient

^ ( Pn- 1 an-X -^ Pn-1 ) -^/i -+- P/,-1 .

notre proposition est donc établie. On voit en outre que, si l'on pose

l'expression précédente de x prendra la forme

et celle-ci se déduit de l'expression (6) par le changement de 71 en /î -{- 1 .

Pour avoir la réduite de rang /i, Il est évident qu'il sufBt de remplacer, dans la formule (6), le quotient com-

plel Jr„^i par le quotient incomplet correspondant an^i ,

on voit alors, par les formules (7), que cette réduite a pour

valeur -^ • Au reste, il faut remarquer qu'on peut Tob-

tenir aussi en remplaçant Xn par 00 dans la formule (8). Les formules (7) peuvent donc être employées pour calculer le numérateur et le dénominateur des réduites successives, et Ton peut énoncer à ce sujet la proposition suivante :

Le numérateur de la réduite de rang n est égal au produit du numérateur de la réduite de rang n — i par le /ï'^'n<? quotient incomplet, augmenté du numérateur de la réduite de rang n — 2 . Et de même le dénominateur de la n}^^^ réduite est égal au produit du dénominateur de la réduite de rang n — i par le n^^'"'^ quotient incomplet, augmenté du dénominateur de la réduite de rang n — 2.

L'application de cette règle exige que les deux premières réduites aient été formées ; on a, par les formules (4) et (5),

P,=zrt, Qj=i,

mais, si Ton pose

Po=i, Qo = o,

les formules (7) seront vérifiées pour w= 2; d*où il ré-

P suite que Ton fera rentrer la deuxième réduite jç dans

Pi la règle générale, en introduisant la réduite fictive -2 = ->

Qo o

que Ton peut regarder comme occupant le premier rang dans la suite des réduites ; c'est ainsi que nous procé-

derons désormais, et, en conséquence, ^ représentera

la réduite de rang n-f-i. Au moyen de cette conven-

la

couBs d'algèbue supérieure.

lion, on peut disposer comme il suit le calcul nécessaire pour la formation des réduites :

aa^ -\- I

ff\

Les quotients incomplets a, ai, ^2, a^, • • . sont écrits sur une première ligne horizontale. Au-dessous des deux premiers quotients a et ai , on place les deux premières

réduites - » - ; on forme ensuite chacune des réduites sui-

vantes, en opérant conformément à la règle, et Ton écrit le résultat au-dessous du quotient qui lui correspond.

Propriétés des réduites,