Théorème I. — Les réduites étant supposées for
mées d'après la règle précédente, et ^> désignant gé'
néralement la réduite de rang n -^ i, on a
P«Q/i-i-Q/.P/i-i=(— 0"- En effet, soit a;,i le /i«^'»<? quotient incomplet, on aura
si l'on ajoute ces égalités après avoir multiplié la première par Q,/«i et la seconde par — Pn^i, il viendra
ce qui montre que la quantité
a la même valeur, quel que soit n ; mais cette quantité
SECTION l. CHAPITRE I. l3
est égale à i quand « = i , car Qo = o et Q, = Po = i ; donc elle est égale à i, quel que soit n.
Corollaire I. — Les nombres P;, et Q^n sont pre^
P miers entre eux, et en conséquence la fraction ^- est irréductible.
L'égalité qu'on vient d'établir prouve effectivement que les nombres P;, et Q;, ne peuvent avoir aucun diviseur commun autre que Tunilé. C'est en raison de cette propriété que l'on a donné le nom de réduites aux frac- P,
tions -z^*
Corollaire II. — La différence entre deux réduites consécutiv^es est égale à une fraction qui a pour nunié^ rateur l'unité, et pour dénominateur le produit des dénominateui'S des deux réduites.
En effet, si l'on divise par le produit Q/1Q//-.1 l'égalité qui fait l'objet du précédent théorème, il vient
Q« Q«-l QnQn-l'
4. Théorème 11. — Si l'on réduit une quantité quelconque X en fraction continue et que l'on forme les réduites successiv*es, la valeur de x sera toujours comprise entre deu r réduites consécuti\»es et chaque réduite apprêchera plus de x que la réduite précédente,
p En effet, -^ étant la réduite de rang «H- i et X/, le
quotient complet correspondant, on a
Qn-'B+Q»-.
l4 COURS D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si l'on résout cette équation par rapport à Xn on trouve
x,= ^'-' •""''"-', d'où ^x„= ^ ^"-'.
Cette formule montre : i° que les différences x — j^-^
et — — X sont de même signe, d'où il résulte que x est
comprise entre -^ — ^^ TT ? ^'*' ^"^ '^ valeur absolue de la
seconde difl'érence est moindre que la valeur absolue de
la première, car les quantités -^^ et Xn, dont le produit
forme le premier membre de la formule précédente, sont Tune et l'autre supérieures à Tunité.
5. Théorème III. — Si Von réduit une quantité quelconque X en fraction continue, la dijférence entre une réduite quelconque et la valeur de x sera moindre qu une fraction ayant pour numérateur V unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs de la réduite considérée et de la réduite suivuinle.
En effet, d'après le théorème II, x est comprise entre
les deux réduites —^^ et ^\ par conséquent, la différence
entre x et Tv"— est moindre que la différence entre r^
et " ' ; mais, d'après le théorème I (corollaire II), cette
dernière différence est égale à -^ — ^ si donc on désigne
par 0 une quantité comprise entre zéro et l'unité, on pourra écrire
Qn-l ' ' Q«-,Q«
SECTION I. CHAPITRE 1« l5
Comme Q,, est supérieur à Q/i«o on a aussi
9 désignant encore une quantité comprise entre zéro et I , mais qui n'a pas ici la même valeur que dans la précédente égalité.
Cette dernière formule exprime que, si l'on prend une réduite quelconque pour valeur approchée de la quantité X, l'erreur commise sera moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite.
Remarque. — On peut encore démontrer le précédent théorème en partant de la valeur de jr exprimée en fonction du quotient complet jr„. On retrouve par ce moyen la limite supérieure que nous venons d'assigner à la différence ( — i)"! x — ^—^ j> et Ton obtienten même temps
une limite inférieure de la même différence. Cette dernière limite a moins d'importance que l'autre, mais elle mérite cependant d'être mentionnée. On a
Q.i 1 Qn~rn^Qn-l Q«-l Qn-1 (Q« '*«-♦- Q«-l )
OU, d'après le théorème I,
Or x,t est compris entre i et oo ; donc la différence X — "~^ est comprise entre
et
Q.-iQ« Q.-i(Q«4-Q,.J
iS COURS d'algèbre supérieure.
Corollaire. — *Si la quantité x est irrationnelle, on pourra toujours former une réduite qui différera de x d'une quantité plus petite qu'une quantité donnée e.
En effet, pour être assuré que la différence entre x
et la réduite -pr^ est inférieure à c, il suffit que Ton ait
<e, d'où Q„, >-»
et, puisque les nombres entiers QoQaïQj» • • • croissent sans limite, on voit que Tinégalité précédente sera vérifiée si Ton prend une valeur de n suffisamment grande.
6. La première réduite — étant - ou oo , et la deuxième ' Qo o
rri étant égale à a on voit qu'on peut énoncer la propo-
sition suivante, qui résume les résultats principaux que nous avons obtenus :
Lorsqu'on réduit une quantité quelconque x en fraction continue, les réduites de rang pair, toutes inférieures à X, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang impair, toutes supérieures à x, forment une suite décroissante. Ces deux suites se terminent quand x est un nombre rationnel ; mais, dans le cas contraire, elles sont illimitées et les réduites de chacune d'elles convier gent vers la valeur de x dont elles se rapprochent indéfiniment.
C'est en raison de cette propriété que les réduites ont reçu le nom Aq fractions convier gentes. On voit que, si a ^4,^2, a^y ... désignent les quotients incomplets obtenus dans la réduction de x en traction continue, il est permis
écrire
puisque Texpression contenue dans le second membre
de cette formule tend vers une limite égale à x, quand le
nombre qui marque le rang du quotient auquel on la
P suppose terminée augmente indéfiniment. La réduite pr^
a pour valeur
Q. Vq, qJ Iq, qJ \q,~q„-J'
et par suite la quantité x est la limite de la série convergente
Q1Q2 QiQ» Q.-iQ«
