Théorème IV. — Si une fraction irréductible
est comprise entre deux réduites consécutiî^es -~— ^ > —^ ?
le dénominateur B de la fraction est supérieur au dénominateur de cliaque réduite,
En effet, la fraction — étant comprise entre — ^^ et r—?
les deux différences
A P/t— 1 Pff P/f—i
sont de même signe, et la valeur absolue de la première différence est inférieure à la valeur absolue de la seconde.
s. — Alg, sup., I. a
l8 COURS D^ÀLGÈBKE SUPÉRIEURE.
Or celle-ci est égale à ^ — ~- : donc on a
^-K^fe)
Q«-iQ»
ou
(-i)''{AQ„,-BP„,)<^;
le premier membre de cette inégalité est un entier qui, par hypothèse ne se réduit pas à zéro, et Ton a en conséquence
Le nombre B est, à plus forte raison, supérieur à Q/ï«|.
Corollaire. — Chaque réduite d'une fraction continue X approche plus de la valeur de x que toute autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui dr la réduite.
En effet, si la fraction irréductible — approche plus de x
P que la réduite -z—y elle sera, à plus forte raison, plus près
de X que la réduite précédente "" *« D'ailleurs, la quan-
tité X étant comprise entre """* ^^ TT' ^^ fraction -- sera
nécessairement comprise entre les mêmes réduites ; donc, d'après le précédent tliéorème, le dénominateur B sera supérieur à Q„.
Il résulte de là que, si B est inférieur à Q^, la fraction -
P, approche moins de x que la réduite p-^«
