Problème. — Etant donnée une fraction — dont
la différence a^^ec une quantité quelconque x est± -^^
9 étant plus petit que l'unité, on demande la condition
P . , pour que jr soit l'une des réduites /burnies par le développement de X en fraction continue,
Réduisons - en fraction continue et formons les ré-
duites — ^ï Tr^'"9-pr^ dont la dernière n'est autre que -•
Si cette fraction est Tune des réduites fournies par le développement de x, et que Ton désigne par Xn le (n-|-i)**°* quotient complet, on aura
Il faut remarquer que Ton peut toujours s'arranger
de manière que le signe du second membre de cette
formule soit le même que celui de la différence donnée
x — f^ = ^ TZi' ^^ d'autres termes, dans la fraction con-
tinue égale à — » on peut toujours faire en sorte que ~
ou - soit à volonté une réduite de rang impair ou do
rang pair. En effet, soient a„^29 ^/i-i les deux derniers
P quotients incomplets de la fraction continue égale à — :
d'après la manière dont on opère habituellement, le dernier quotient n'est pas égal à i, car, si cela avait lieu, on pourrait supprimer ce quotient en augmentant d'une unité le quotient précédent qui deviendrait alors a/i«24- 1 . Donc, puisque a;,.| est au moins égal à 2, on peut le
remplacer par (a««i — ij-h-, c'est-à-dire qu'on peut
20 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.
introduire un quotient de plus égal à i, en ayant soin
do retrancher une unité du quotient qui était le dernier.
On peut donc faire en sorte que le nombre n, qui in-
P P dique le rang de la réduite -p = — , soit à volonté pair ou
impair; ce nombre n étant ainsi choisi de manière que le
signe de ( — i )"■*"* soit celui de la différence donnée ± — ,
on aura
(2) — — - — î — r=:A, d'où 0 = - ^'î—
Or Xn est positif et supérieur à i : donc on a
Qn
Qn-hQn-i
Je dis que réciproquement, si cette condition est satis-
faite, la fraction — sera Tune des réduites de x. En effet,
Xn étant alors définie par la formule (i), Téquation (2 donnera pour cette quantité une valeur positive et supérieure à l'unité; d'ailleurs, d'après la formule (i) la valeur de x sera évidemment de la forme
d'où il résulte que la fraction -- est l'une des réduites qui
convergent vers x.
Il faut remarquer que la condition (3) sera toujours
satisfaite si 0 est inférieur à -> car le rapport — — -!^- —
est supérieur à -: donc la fraction ^r- sera nécessaire- *^ 2' Q
SECTION I. CHAPITRE I. ai
ment l'une des réduites de la quantité x si la diflTérence X — 77 est, en valeur absolue inférieure à
Des fractions con\fergentes intermédiaires.
9. On a vu que les réduites de rang pair et celles de rang impair forment deux suites qui sontTune croissante^ Tautre décroissante, et qui convergent toutes les deux vers la valeur de la fraction continue. Considérons deux réduites consécutives
Q//— i Vw-»-l
de l'une ou de Tautre des deux suites, le nombre n pouvant être égal à i . Si a;, désigne le quotient incomplet de rang n 4- i , les valeurs de ces deux réduites seront comprises dans l'expression générale
et elles répondront aux valeurs Ar = o, k=an de l'indéterminée k.
Lorsque le quotient an est supérieur à i, et que l'on donne à k les valeurs successives
O, I, 2, 3, . . ., (On— l), On,
l'expression précédente fournit, indépendamment des deux réduites considérées, a„ — i autres -fractions dont les dénominateurs sont compris entre Q«,i et Q/i+i et auxquelles on a donné le nom de fractions conyer^ génies intermédiaires.
Si l'on pose, pour abréger l'écriture,
R^= XP„-f- P„.„ S^^ AQ^-f- Q«i,
29 couBS d'algèbre supérieubb.
on aura
R;t+, = Ra -+- Pn, Sah-, = S^ -h Q« ; d'où
Rifc+iS;t-SA^,RA=P„S;t~Q„R,= P„Q„>,- Q„P^i ou
et, par conséquent,
R^i R^ ^ (-i)"^ In ^^ LzÛl.
Ces formules sont analogues à celles qui se rapportent à (Jeux réduites consécutives quelconques, et Ton peut en conclure les propositions suivantes ;
1 ^ Les /fractions convier génies intermédiaires, formées comme il a été indiqué, sont desjiactions irréductibles.
2" La différence de deux fractions convergentes in^ termédiaires consécutives est égale à l'unité divisée par le produit des dénominateurs des deux fractions.
3" Si l'on considère la suite des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, puis qu'entre chaque réduite de l'une et de l'autre suite et la réduite suivante on écrive toutes les fractions convergentes i/itermédiaires qui s'y rapportent, de telle manière que les dénominateurs forment une suite croissante, on obtiendra deux nouvelles suites qui seront, la première croissante, la seconde décroissante, et qui, en consé' quence, convergeront sans cesse, l'une et l'autre "vers la valeur de la fraction continue.
4** Si une fraction — est compriseentre deux fractions
t • R* Rib-t-i convergentes consécutives — » ^ — -y appartenant au
groupe dont les réduites t^^^ et p~î^ sont les termes ex-
trémes, ou si elle est comprise entre la fraction — etla
réduite -^ » le dénominateur B de cette fraction — sera
supérieur au dénominateur de chacune des fractions convergentes qui la comprennent.
10. Lorsque la fraction continue est limitée, les deux suites formées avec les réduites et les fractions intermédiaires se terminent d'elles-mêmes; mais il faut remarquer que l'on peut encore considérer l'une des deux suites comme illimitée. En effet, dans le cas dont il s'agit, l'une
P <les réduites — ^ exprime la valeur exacte de la fraction con-
tinue; cette réduite termine l'une des deux suites, tandis
que l'autre suite s'arrête à jr^^ mais on peut évidem-
ment introduire dans la fraction continue un nouveau ({uotient Xn égal à oo ; celle-ci sera alors représentée
par l'expression " " ^"^ équivalente à ~^» et à celle
P de nos deux suites qui se termine à " ' on pourra ajou-
1er les fractions intermédiaires
P^-+-JVm 2Pn-HPn~i 3Pn-l-Pn~l
Q/i+Qn-i' 2Q;,-f-Q„/ 3Q„-+-Q„-,' '"'
dont le nombre est illimité. La suite indéfinie que l'on formera ainsi convergera vers la fraction continue, comme si celle-ci représentait la valeur d'une quantité irrationnelle.
ii . La théorie que nous venons d'exposer nous fournit la solution de cette importante question:
Problème. — Déterminer, parmi toutes les fractions
a4 COURS d'algèbre supérieure.
dont le dénominateur ne surpasse pas une certaine li' mite K, celle qui approche le plus d 'une irrationnelle donnée x.
Concevons que la quantité x ait été réduite en fraction continue, puis qu'avec les réduites et les fractions intermédiaires on ait formé les deux séries, Tune croissante, l'autre décroissante, qui convergent toutes deux vers la valeur de x.
Si lé dénominateur Q„ de l'une des réduites est égal à
la limite donnée K, la fraction demandée sera la réduite
^\ mais je dis que, dans tous les cas, cette fraction fera
partie de Tune des deux suites formées avec les fractions convergentes. En effet, s'il en était autrement, la fraction
demandée — tomberait entre deux termes consécutifs B
^-^> — ^ de l'une de ces deux suites ; mais alors B serait
supérieur à Sa, la fraction -- serait d ailleurs plus appro-
chée de x que — » et par conséquent cette dernière fraction ne satisferait pas à la condition requise.
Donc, pour résoudre le problème proposé, il suffit de réduire l'irrationnelle x en fraction continue, de former la série des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, avec les fractions intermédiaires correspondantes ; de prendre enfin dans chaque suite la fraction qui a le plus grand dénominateur au-dessous de la limite K. Les deux fractions que l'on obtient de cette manière comprennent entre elles la quantité x, et elles fournissent les valeurs les plus approchées par défaut et par excès, de cette irrationnelle, quand on exclut les fractions dont le dénominateur est supérieur à K.
On voit. que la réduction en fraction continue doit être employée toutes les fois qu'il est question d'exprimer par les fractions les plus simples et les plus approchées qu'il est possible, soit la valeur d'une irrationnelle, soit celle du rapport de deux nombres entiers très-grands.
Théorème de Lejeune'-Dirichlet,
i2. La théorie des fractions continues nous a révélé
. P l'existence d'une infinité de fractions -r^ susceptibles d'ex-
xn
primer la valeur d'une irrationnelle donnée j:, à p-j- près.
Ce fait si remarquable peut être établi directement pal un procédé ingénieux dû à l'illustre géomètre allemand Lejeune-Dirichlet.
Le théorème que nous nous proposons d'établir peut être énoncé dans les termes suivants ;
Théorème. — Dans la série des fractions qui ont pour dénominateurs les nombres i, 2, 3, . . . , ti, i7en existe au moins une de dénominateur v (/ui diffère d'une quantité
moindre que — » par défaut ou par excès, d'une irra^
tionnelle donnée x.
Représentons par n%, le nombre entier immédiatement supérieur à vx, et considérons la suite des quantités
nij — ^, - /Wj — 2 J", nt^ — 3-r, . . . , m^ — w.r,
qui seront toutes moindres que l'unité. Si l'on était assuré que l'un au moins des produits
/i(/iii — x), n[m^ — 2j:), n[m^ — 3a:), ..., /i(m„ — nx) eût pour partie entière zéro, le théorème serait démontré.
26 COURS D*ALGÈBEE SOPÉRIEURE.
car on aurait, par exemple,
[l'où
/Wv — vJL- <C - et jr <r — ;
mais, s*il n'en est pas ainsi, comme ces parties entières ne peuvent être que
Texclusion du nombre zéro exige que Tune d'elles soit la même dans deux produits différents. Soient donc
/î(/Wy — v.r) = E -4- e, ^{^ii. — fA-i*) = E -4- ïî,
E désignant un entier, e et m étant des quantités positives inférieures à i . Si Ton retranche ces égalités l'une de l'autre, il vient
d'où
On peut supposer que v soit le plus grand des nombres v et fx; la différence v — yi de deux nombres inférieurs à n est elle-même moindre que n ; enfin la valeur absolue de £ — y; est inférieure à i . Le théorème énoncé résulte donc de la formule précédente, puisque celle-ci montre que la valeur absolue de la différence
nty — fn,.
est inférieure à
/l(y— fi)
Dans ce qu'on vient d'établir, le nombre n est quelconque. En le faisant croître indéfiniment on voit la pos-
sECTioif I. — CHAPITRE I. ay
sibîlité d'obtenir une suite infinie de fractions convergentes vers la valeur de x, telles que Terreur par défaut ou par excès relative à chacune d'elles soit moindre que Tunité divisée par le carré du dénominateur; car, dans
l'expression — indiquée par Ténoncé du théorème, v est
au plus égal à n ; cette limite sera donc en général
moindre que — •
Résolution d'une équation du premier degré à deux inconnues, en nombres entiers, par la méthode des fractions continues.
