Gonsi(lérons Téquation

dans laquelle P, Q, II sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Gomme on peut supposer que ces trois nombres n'ont aucun diviseur commun, l'équation proposée ne pourra évidemment être satisfaite par des valeurs entières de X et de j' que si les coefficients P et Q sont premiers entre eux. Supposons que cette condition soit remplie ; réduisons la fraction dz rr en fraction continue, et calculons

Jes réduites successives. Si ^ désigne l'avant-dernière réduite, on aura

zh(PQ'-QP')z=i;

d'où

P(zfcQ'H)-f-Q(ipP'R)=H,

ce qui montre que Téquation proposée sera satisfaite en

posant

x===tQ'H, j = q=P'H.

Désignons par Xo et ^o ces valeurs des indéterminées x

aS COURS d'algèbre supérieiiiie.

etjr, l'équation proposée pourra se mettre sous la forme

Px-+-Qj = Pxo-+-Q^o ou

r—ro= — —^ — ^

et, comme les nombres P et Q sont premiers entre eux, les quantités x et j^ ne seront entières que si x — Xq est divisible par Q. On aura donc, en désignant par 0 le quotient de cette division,

jr = Xo-heQ, ^=^0— 6P,

c'est-à-dire

x^±Q'H-f-OQ, >^=ipP'H — OP;

ces valeurs satisfont à Téquation proposée, quel que soit l'entier positif ou négatif 6.

Il faut remarquer que la valeur absolue de x sera inférieure à Q si l'on prend pour 0 l'un des deux entiers consécutifs entre lesquels est comprise la fraction positive ou

négative zp-^^r— ^ on peut même ajouter que l'une de ces deux valeurs de 0 donnera à x une valeur absolue inférieure à - Q. Il résulte de là qu'il existe une valeur unique

de X entre les limites zéro et Q ou Q et H — Q, pour

laquelle l'expression

Par — H

se réduit à un nombre entier.

L'équation dont nous venons.de nous occuper peut s'écrire de la manière suivante :