PQ ^ Q P
el Ton voit que toute fraction — > dont le dénominateur est le produit de deux nombres P ei Q premiers entre eux, peut se décomposer en deux autres fractions ayant respectivement pour dénominateurs les nombres P et Q.
Théorème relatif à la réduction des fractions rationnelles en fractions continues.
P 14. Considérons une fraction rationnelle — supérieure
à 1 , et supposons qu^en la réduisant en fraction continue on ait trouvé
la dernière des réduites successives — ^» -^» •• •> -;-^ sera
P rgale à ~i et Tavant-dernière aura pour valeur
D'un autre coté, on a
P, =P,fl,-f-P„ Q, =:Q,^j-f-Qi,
Pi =Pi^'i + Po, Qi ^Qi^'i-HQo,
puis
P, = ^/, Po=i, Q,= i, Qo = oî
3o coLRS d'algèbre supérieure.
ces formules donnent
fi
On voit que les quotients de la fraction continue (3) sont précisément ceux de la fraction (i) pris dans un ordre inverse; la fraction (4) est Tavant-dernière réduite de la fraction continue (3).
Il résulte de là que, si Ton a
(5) Pn-i-Qn,
mais seulement dans ce cas, les fractions (i) et (3) seront égales entre elles et la suite des quotients
sera réciproque, c'est-à-dire que les termes extrêmes seront égaux entre eux, ainsi que deux termes quelconques pris à égale distance des extrêmes. Comme on a
(6) PnQ«-,-Q«P.-i = (-i)'S
la condition (5) équivaut à
(7) PnQ.-l-"Qi=(-0" ^" Qn>»=^^^"^j""''^%
et elle exprime que Ton a
( 8 ) -=-rr — = un nombre entier.
SECTIOIf I. CHAPITRE I. 3l
Réciproquement, si les nombres entiers P et Q<^P sa- Jsfont à la condition (8), on peut être assuré que la frac-
lion — se réduira en une fraction continue dans laquelle
les quotients formeront une suite réciproque.
P En effet, réduisons la fraction — en fraction continue,
en nous arrangeant de manière que le nombre des quotients soit pair ou impair, suivant que le signe ambigu zh exprime -f- ou — dans la formule ( 8 ) . Alors, en désignant par n le nombre de ces quotients et par Q' la valeur du premier membre de la formule (8), on aura
mais j^—^ étant la réduite qui précède ^ ou —> la for-
mule (6) a lieu, et, en la retranchant de la précédente, il vient
comme P;, doit diviser le second membre de cette formule, et que ce nombre est premier avec Q;,, il doit diviser Qji — P„« I ; cette différence étant inférieure à P„ , elle doi t être nulle, et Ton a
La première de ces égalités démontre la proposition que nous avions en vue.
15. Les résultats qui précèdent nous seront utiles plus tard; mais il n^estpas sans intérêt de montrer dès à présent comment on peut en tirer une démonstration fort simple d'une proposition importante dans TArithmétique supérieure. Cette proposition est la suivante :
Théorème. — Tout nombre entier qui divise la somme
do deux carres premiers entre eux est lui-même la somme de deux carrés.
En effet supposons que le nombre entier P divise la somme R^H- S^ R et S étant des entiers premiers entre»
eux. Si Ton réduit la fraction -• en fraction continue et que
Ton désigne par^ la réduite qui précède — > on aura
RS'— SR'=±:i;
en outre, le nombre P divisant R^H-S*, il divisera le produit
(R»-+-S»)(R'*-f- S'«) = (RR'-hSS')»-f- (RS' — SR')«;
il divisera donc, quel que soit K, la somme de deux carrés
(RR'-hSS'— KPj'H- (RS' — SR')»;
or le second de ces carrés est i ; quant au premier, il est le carré d'un nombre Q qu'on peut supposer inférieur à P,
et mémo, si l'on veut, inférieur à -> à cause de l'indéter-
minée K. 11 résulte donc de notre hypothèse qu'on peul trouver un nombre Q inférieur à P, tel que l'on ait
— - — = entier,
Cela posé, réduisons la fraction — en fraction continue,
en opérant de manière que le nombre des quotients soit pair. D'après la proposition établie plus haut, la suite de ces quotients sera réciproque et elle pourra être représentée par
La (/// H- r/'*'"* réduite ^ embrasse les quotients delà pre-
SECTION I. — CHÀPITHE I. 33
mîère moitié de cette suite, et, si Ton désigne par '"''^ la réduite précédente, par Xm le quotient complet de rang
m -h I , on aura
P Pm'^m + ■ m^l
Q Qm^m + Qm-l'
mais le quotient complet Xm est égal à
fl„-i -h -— -
p et cette fraction n'est autre chose que ^ ; donc on a
P Pf»» ~+- Pm— I
Q PmQm+Pm-lQ,«-l
Il est évident que le second membre de cette formule est une fraction irréductible. D'ailleurs on s'en assure immédiatement en remarquant que la différence
Pm (PmQ;!, + Pm-1 Qm-l ) - Qm (P,î. + P^-l)
a pour valeur
Pm-l(PmQm-l- QmPm-l) = (- l)'"Pm-i;
un facteur commun aux deux termes de la fraction dont il s'agit diviserait donc Pm.i ; niais alors il diviserait aussi Pin> ce qui est impossible, puisque P^ et P^-i sont premiers entre eux. D'après cela, la formule que nous avons obtenue donnera
P = Pm "^" P/n— 1>
Q = P^Q;„-f.p^iQ^^i, Non-seulement la première de ces égalités démontre le
4 COURS d'algèdrk supérieure.
théorème énoncé, mais encore elle fait connaître les deux carrés dans lesquels le nombre P peut être partagé (*).
Condition pour que les fractions continues qui représentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients.
16. Si deux irrationnelles positives x et xf sont telles, que les fractions continues dans lesquelles elles se développent aient un même quotient complet jTy on aura, par les propriétés des fractions continues,
p, Q, P', . . . étant des entiers positifs qui satisfont aux deux conditions
PQ' — QP' = ±i, RS' — SR'=±:i.
Si Ton élimine y entre les équations (i), on trouvera
aar.
en posant
a =: QR' — RQ', 6 = RP' — PR', a' = QS' — SQ' , y = SP' — PS',
et Ton déduit de ces dernières formules
ab' - ba'=z (PQ' - QP' ) (RS' - SR') =±1.
Donc, pour que deux irrationnelles positii/es x et af puissent se développer en des fractions continues suscep' tibles d'être terminées par des quotients complets égaux
(') J'ai donné pour la première fois cette démonstration dans vo orticle qui fait partie du tome Xlil du Journal de Mathématiques pures et appliquées (i''* série)*
entre eux, il faut quelles soient liées l'une à l'autre par une équation de la /orme
ou a, b e/y b' désignent des entiers positifs ou négatifs qui satisfont à Li condition
(3) ab'^ba'=:±i.
Je dis maintenant que cette condition est sufYisante. En
effet, réduisons x en fraction continue, désignons par ~
une réduite aussi éloignée qu'on voudra, par ^^7 la réduite
précédente, et par j^ le quotient complet qui répond à la
réduite - 5 on aura
iA\ Pr-+-P'
et, en substituant cette valeur de xdans l'équation (3), il viendra
,__ fflP4- hQ]Y •4- [aV -^ hQ'] '^ ~ (a'P -h b'q)x -4- («'P' -h 6'Q' ) '
Cela posé, quels que soient les signes des nombres a, b, t/y Vy les rapports
tfP-+-ôQ
% p'-hbqi
et
sont positifs et supérieurs à i, car on a Q^Q' et l'on
P P' peut supposer les réduites - > ^^7 assez éloignées pour que
leur différence soit plus petite qu'une quantité quelconque
donnée. D'ailleurs y elaf sont positives; donc la valeur précédente de af est de la forme
R, R', S y S' étant des nombres entiers positifs tels que
D'ailleurs ces nombres ont respectivement pour valeurs
Rrrrzh [aV -h ^»Q), R'==dz(ûP' -h^'Q), Sz=±[a"9-\- b'Q), S'=:=t:(a'P'-f-ô'Q'),
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble. On déduit de là
RS' — SR' = zb [ab' — ha' ) (PQ' - QP' ) ; on a d'ailleurs
PQ'QP'=d=i et aô— ^a=dbi, donc
(6) RS' — SR'==hi.
Réduisons maintenant la fraction — en fraction conti-
nue et soit -r^ l'avant-dernicre réduite ; comme le calcul
peut être fait de manière que ^ soit à volonté de rang
pair ou de rang impair, on peut écrire
RSo— SRo=dhi,
le signe du second membre étant ici le même que dans la formule (6). Et alors, à cause de cette formule (6), l'égalité précédente donnera
R(S'-So) = S(R'-Ro);
SECTION I. CHAPITRE I. Sj
or le nombre R est premier avec S, et il surpasse R' — Ro,
différence de deux nombres inférieurs à R ; il faut donc
que Ton ait
Ro = R , Sq = S .
On voit enfin par la formule (5), que^estun quotient complet commun à x et à j/.
Re.\iarqi]e. — Nous avons supposé les quantités j: eta/ positives, mais rien n'empêche de les supposer négatives. En effet, si Ton change x en — x ou x! en — a/, la formule ( 3 ) restera la même ; seulement quelques-uns des coefficients changeront de signe sans cesser de satisfaire à la condition (4)- Au surplus, dans le développement d'une irrationnelle en fraction continue, on n'a à s'occuper que de la valeur absolue de cette irrationnelle.
