M»— LN = A

supposée positive, ne soit pas un carré exact. Les racines de cette équation seront représentées par l'expression

zbL

le radical yfk. étant pris positivement, et le signe ambigu ± devant être remplacé successivement par -+- et par — tant au numérateur qu'au dénominateur; mais, comme nous ne voulons considérer que les valeurs absolues des racines nous donnerons au dénominateur de

SECTION f. CHAPITRE II. ig

l'expression précédente le signe qui rend cette expression positive. Alors, si Ton pose

D=:d:L, E=:=hM,

puis que Ton désigne par D| la valeur de N prise avec un signe tel que LN= — D|D, toute irrationnelle du deuxième degré prise positivement pourra être représentée par la formule

dans laquelle E et D sont des entiers positifs ou négatifs et A un entier dont la racine carrée est irrationnelle. En outre, on aura

D.i étant un nombre entier positif ou négatif.

18. Gela posé, nous nous proposoAs de développer en fraction continue Tirrationnelle définie parla formule (i). *

Après avoir déterminé la racine du plus grand carré entier contenu dans A, on aura immédiatement, par la division le plus grand entier a contenu dans x ; alors on fera, conformément à la méthode générale,

et le nouveau quotient Xf sera donné par la formule

* — (Da — E)-hv^A'

si Ton multiplie les deux termes de cette expression par (Da — E)-|-^ afin de rendre le dénominateur rationnel elle prendra la forme

Ef et D| désignant des nombres rationnels. On opérera sur Xi comme on a fait sur x, et ainsi de suite ; en sorte qu'on obtiendra successivement les formules suivantes:

E-hi/ï I

D Xi

E, -hv/Â I

Xn= — =«»

qui sont toutes semblables à la proposée, car on va voir que les nombres rationnels E;,» D/i sont toujours des entiers. La valeur de x„,i est

et l'on en tire

D„. 1 ^ D;,-.^ [(D;,-.ifl„,, - E^t ) -4- yg

alors on aura, d'après nos notations,

(6) Un-^ 7

(5) EJ-4.D„»tD„=A;

cette formule (5) subsistera pour /i = o, si l'on convient que Drt et E^ représentent D et E respectivement, quand rindicc n est nul; car, dans ce cas, les formules (a) et (5) coïncident. La formule (5) ayant lieu quel que

SECTTOIf I. CHAPITRE II. 4^

soit 71, on peut, dans la formule (3), remplacer A par Ei i -H D««aD;,«i, et il vient alors

enfin, en remplaçant D^.i par la valeur tirée de la formule (4)9 on obtient

Les formules (4) et (7) subsistent, d'après ce qu'on vient de dire, quand on suppose n = i. Elles contiennent la loi de formation des quotients complets Xny et elles montrent que, si les nombres T>n^2y E/,|,D;,„| sont entiers, les nombres E^ et D« seront aussi entiers. Or, par hjrpothèse, D|, E, D sont des nombres entiers : donc E| et D| seront eux-mêmes des entiers, ainsi que E2 et Da,. . ., Ea et D/,. Les formules (4) et (7) montrent encore que, si D| et D sont pairs et que E soit impair, tous les nombres D;, seront pairs, tandis que les nombres E„ seront impairs.

Remarque. — Il convient de remarquer que les trois nombres entiers D;,«|, E;,, D,, ne peuvent avoir un diviseur commun 0 supérieur à l'unité. En effet, si un tel diviseur existe, il divisera E^.i à cause de la formule (4) et D/2.2 à cause de la formule (7) ; il sera donc un diviseur commun des trois nombres D^.a, E;,|, D;,«|. On en conclura de même qu'il est diviseur commun à D^.s* E/i.ay D/i.a9 et ainsi de suite. Le nombre 6 sera donc un diviseur commun à D|, E, D, et, par suite, A aura le diviseur 6*. Or on peut toujours admettre qu'il n'en est

pas ainsi ; car, si, dans l'expression proposée — rp— ? E

et D sont divisibles par 0 A par 0^, rien n'empêche de supprimer ce facteur.

43 COURS d'aLGÈBBE SUPÉRIEURE.