On retrouve les résultats qui précèdent par la

considération des réduites. Soit ^ la («-h i)»*"« réduite

de la fraction continue égale à x; on a

^ {QnE,.+ Q„,D„)+Q;,v/A

si l'on chasse les dénominateurs et que Ton égale ensuite de part et d'autre les parties rationnelles et les parties irrationnelles, il viendra

( 8 ) Q« En + Q«-i D„ = DP, - EQ„,

(9) (DP;,- EQ„)E,+ (DP„,-EQ„,)D^r=: AQ„.

En résolvant ces équations (8) et (9) par rapport à E« et D;,, et en faisant usage de la relation

on trouve

(,o) E« = ^^[AQ,iQ,-(DP„i-EQ^,)(DP»-EQ„)],

(,,)D«=^i^[(DP„-EQ,)«-AQi];

il est évident que la quantité entre crochets, dans l'expression de E/i ou de D;,, se compose de termes qui contiennent D en facteur, et d'un terme multiplié par le nombre A — E^ qui est divisible par D. Donc les formules (10) et (11) montrent que En et D« sont des entiers, ce que nous savions déjà; mais elles vont aussi nous conduire à un autre résultat fort important.

Je dis effectivement que, sin est supérieur à une certaine limite les entiers EnelDn seront toujours positifs.

SECTIOir I. CHAPITRE II. 43

La formule (i i) démontre immédiatement ce faità Tégard de Du ; en effet, on peut l'écrire comme il suit :

or, d'une part, le facteur —^ — ^^ cT — ^ ^ ^^

signe de ( — i)", et (l'autre part, comme cette différence peut devenir aussi petite que Ton veut, en prenant n suffisamment grand, le dernier facteur de notre expressign

de D„ approchera autant que Ton voudra de 2^A, et il sera, en conséquence, positif pour toutes les valeurs de n s.upérieures à une certaine limite ; donc aussi Dji sera positif.

On pourrait établir la même propriété à l'égard de E;, en se servant de la formule (lo), mais il est plus simple de partir de l'équation (8). Celle-ci donne

— Xj

et,

divisant par

fro

Pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,

D -r^ — E ) différera de ^ d'une quantité plus petite

qu'une quantité donnée quelconque : il en résulte que le nombre entier E^ ne pourra pas être négatif; car, si cela arrivait, le second membre de la formule précédente serait plus grand que i, et il ne pourrait être égal au premier membre, lequel est évidemment inférieur à i.

Si doncy pour quelques-unes des premières valeurs de /Zy o, I, 2, . . ., les nombres D/, et E» peuvent être négatifs^ celte circonstance ne pourra plus se présenter dès que n aura atteint une certaine limite.

20. Nous pouvons maintenant établir la proposition suivante due à Lagrange :

Théorème I. — La fraction continue, dans laquelle se dét^eloppe une irrationnelle du deuxième degré, est périodique, cest-'àrdire que la série des quotients comr plets ou incomplets, à partir de celui qui occupe un cer* tain rang, est formée d'une suite limitée de termes au période qui se reproduit indéfiniment la même.

En eûétf soit l'irrationnelle du deuxième degré

(0 " = — iT-'

que nous supposerons positive ; le nombre A est un entier dont la valeur est donnée par la formule

(2) E*-4-D jD = A

et D.1 j E, D sont des entiers positifs ou négatifs. Si

.ox E„-4-s/Â

(3) "— -dT"

désigne généralement le quotient complet de rang r + if et que Un soit le quotient incomplet correspondanti on aura par ce qui précède,

(4) EÎ^-D„-,D^ = A et

en outre, nous savons que E;, et D» sont des entiers et que, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite, ces mêmes nombres sont positifs. Considérons le développement en fraction continue, à partir de cette limite. La formule (4) montre qu'alors on a constamment

la formule (5) nous donne ensuite, en écrivant n au lieu de n — I, ^ D„<2^A et a„<;2^A.

Ainsi les pombres E;,, D/,, an sont limités et les quotients complets Xn ne peuvent avoir qu'un nombre^/ii de valeurs différentes. Donc, après un nombre d'opérations plus ou

moins grand, mais qui ne peut excéder 2 ^X\/Â ou 2 A, on retombera nécessairement sur un quotient complet déjà obtenu ; après quoi le reste de la série des quotients complets ou incomplets sera formé d'une même suite ou période de termes déjà trouvés, laquelle se répétera indéfiniment.

Il convient de remarquer que la relation (4) donne D/î-1 D/i <C ^y ^^ ^^^^ aurait de même, en changeant n en n — i, D;,2D,i i <^A. Si donc on a

on aura

D,^<^Â et D;,<v^X;

d*où il résulte que, si le dénominateur d'un quotient complet est supérieur à ^Â, le dénominateur du quotient précédent et celui du quotient suivant sont l'un et Tautre inférieurs à y/Â.

La démonstration précédente repose sur ce seul fait que D„ est positif pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite; elle subsisterait donc lors même que

nous n'aurions pas établi que E;i est égalemeni positif pour des valeurs de n suffisamment grandes. Enfin il est évident que, si x^ est le quotient complet qui commence la première période, les deux nombres E;, et D„ seront nécessairement positifs à partir de la valeur /i = v.

21 . Théorème II. — Réciproquement, toute quantité qui se développe en une fraction continue périodique est une irrationnelle du deuxième degré.

En effet, considérons une irrationnelle x qui se déve-

loppe en une fraction continue périodique ; soient -r^ la

réduite de rang /£+ 1 et Xn le quotient complet correspondant, on aura

Si la fraction continue est périodique simple, c*estr-à-dire si la période commence au premier quotient et que cette période ait h termes, on aura

alors la formule (i) donnera

Qa«^ -h Qaw-1 ou

X est donc racine d'une équation du deuxième degré i coefficients entiers. Il faut remarquer que le nombre A peut être égal à i, et que, dans ce cas, on a Pa.i = i» Qa-i = o.

Si la fraction continue proposée est périodique mixte, c'est-à-dire si la période ne commence qu'à partir do

SECTION I. CHAPITRE II. 4 y

quotient de rang m -♦- 1 et que cette période ait h termes on aura

Qm-^m "+~ Qm— 1 Q/n+A-'^m-»-* "+" Q//i-+-Jh-l

avec

chacun des nombres m et Ar pouvant être égal à i. Si l'on résout par rapport à Xm et Xm+f^ les deux équations comprises dans la formule (3), puis qu'on égale entre slles les valeurs obtenues, on aura

■ Z^ZZ * j

§quation qu'on peut mettre sous la forme ;5) L.r«— 2Mx-+-N = o,

3n posant y pour abréger

IL =■ Q/«— 1 Q/n+^ — Qm Qm-*-A-l»

2 M = Q,„«i P|„^.*— Q,„ Pw+ib-1 -+-P/»-l Qm-f-*— Pm Q//i+*-l » N = Pm— 1 Pm-f-* — P/n Pm-f-A^-l •

On voit donc que x est encore dans ce cas, Tune des racines d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers.

Corollaire. — L* équation du deuxième degré à coefficients rationnels, à laquelle satisfait une fraction continue périodique donnée, a ses deux racines de signes contraires si la fraction continue est périodique simple, et elle a toujours ses racines de même signe lorsque, la fraction continue étant périodique mixte, il j- a plusieurs termes avant la période.

En effet, s'il s'agit d'une fraction périodique simple r, l'équation (a) à laquelle cette quantité doit satis-

48 COURS d'algèbre SUPÉRIEUaB.

faire a évidemment ses racines de signes contraires. Si rirrationnelie x se réduit en une fraction périodique mixte, elle satisfera à une équation telle que (5), dans laquelle le produit des racines est, d'après la formule (6),

L Qm—l Qm+A- — Qm Q/m-hAt-I

Supposons qu'il n'y ait qu'un seul quotient a avant la période, on aura

et, par suite,

N P/^,--/iP/, L "" - Q, '

ce rapport peut être positif ou négatif; donc, dans ce cas, les racines de Tcquation (5) peuvent avoir le même signe ou des signes contraires.

Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs quotients avant la période, et soient a;n.i, a^^k-i les quotients incomplets de rang m et de rang m-\-k\ on aura

P/n^^ P/ii— 1 ^m— 1"+~ °m— Il * /?n-A:^=^ Pm4•A^-l ^m-»-A>-l "H Pm-l-i^-ii Q/«= Qm— 1 û/n— 1"+- Qm— 1» Qm-+-A= ^m-k-k—\ ^m4-A>-l-H Qm-HA^-««

N au moyen de quoi l'expression générale de =- devient

^ ^ w— 1 ^m-HA— 1 y r,rf^k—\ Pw>— < /

La différence a;„+A i — a^-i n'est pas nulle, car autrement la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne Fa supposé ; d'ailleurs le deuxième facteur du second membre de la formule précédente est une fraction dont chaque

terme s'obtient en ajoutant une quantité positive ou négative, mais fractionnaire, à Tentier a;„^i — «/«-< î donc le facteur dont il s'agit est positif, et il en est de même

N du rapport j ; ce qui achève la démonstration de la pro-

position énoncée.

22. Théorème III. — Les périodes des quotients mcomplets, dans les fractions continues qui expriment les racines irrationnelles d'une équation du deuxième de^ gré à coefficients entiers, sont inv^erses l'une de l'autre^ c'est-à-dire que les quotients dont se compose l'une des périodes sont précisément ceux de l'autre période disposés dans un ordre inverse.

Supposons d'abord que Tune des racines de Téquation proposée se développe en une fraction continue périodique simple. On peut admettre que cette racine x est positive et supérieure à i, car on ramènerait le cas contraire à celui-là en changeant x en — x ou en ±: -•

Cela posé, pp représentant généralement la réduite de

rang /i 4- i^ et JC» le quotient complet correspondant, on a

X = -r — î a OU Jrjfc = —- — •

Si h exprime le nombre des quotients contenus dans la période, on reproduira Téquation dont x est racine en remplaçant Xk par x dans Tune ou Tautre des formules précédentes ; cette équation peut donc se mettre sous la forme

et, SI Ton représente par 7 sa deuxième racine, qui est

^•f Alg, sup. — L 4

5o COURS d'algèbre si;pÉRiEua&.

négative ; on aura

i^^l-^'+QA-l

Or, -^ étant supérieure à i., on sait (n**H) que r^ et -—-

se développent en des fractions continues formées des

mêmes quotients ,mais en ordre inverse ; en outre, -^^

est l'avant-derniùre réduite de la fraction continue égale

à — —'^ donc x' est égale à une fraction continue pério-

dîque simple, dans laquelle la- période est inverse de celle de X,

Considérons en second lieu le cas où les racines de Téquation proposée se développent en des fractions périodiques mixtes. Soit jc l'une do ces racines; nous pouvons supposer .r positive, et, si la période commence au quotient de rang m -h i , on aura

X rr: - •

xm''//î "+~ Qm— 1

la quantité JCm est supérieure à i , et elle est exprimable par une fraction périodique simple; elle est donc racine d'une équation du deuxième degré, dans laquelle la seconde racine ,- est telle que les fractions continues

y^^ et x„i aient des périodes inverses. D'après cela, on obtiendra la seconde racine x' de l'équation proposée en

remplaçant Xm par — dans la formule précédente ; on

a ainsi

SECTIOlf I. CHAPITRE II. 5l

Or, à cause de l'égalité

les fractions continues x' et j:'^ se terminent par les mêmes quotients (n^l6); d'ailleurs, dans une fraction continue périodique, on est libre de faire commencer la période à l'un quelconque des quotients qui viennent après la partie réellement non périodique ; donc on peut considérer comme inverses l'une de l'autre les périodes des fractions continues x et x'. Mais il faut bien remarquer que ce n'est qu'en entendant les choses de cette manière que le théorème énoncé est exact.

23. Théorème IV. — La période de la suite formée par les numérateurs ou par les dénominateurs des quo~ tients complets relatifs à Vune des racines irrationnelles d'une éifuation du deuxième degré à coefficients entiers est ins^erse de la période analogue qui se rapporte à la deuxième racine.

En effet, d'a|)rès ce qui précède, les périodes des quotients incomplets, relatives aux deux racines, peuvent être représentées par

(i) fl, «1, «,,..., flA— f> «A— 1,

(2) Ofc-\j ^A— 1, •••? ^î> ^U ^•

Soient

les quotients complets qui répondent respectivement aux quotients incomplets (i) et (2).

Si n désigne un entier quelconque compris entre zéro et ky on peut regarder la suite

^M ^u+l» • • • > ^it-^t ^» «1, . . . , ^n— 1

5a COURS d'algèbre supérieure.

comme étant la période des quotients incomplets de la pHMnière racine, et cette période sera en même temps celle que fournira le développement du quotient complet OT/i. Pareillement, on peut prendre la suite

pour la période de la deuxième racine, et cette même suite sera la période de la fraction continue égale au quotient complet Xyt^rt-

Cela posé, les irrationnelles Xn et x\n étant égales à des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses Tune de Tautre, x\^

et seront les racines d'une même équation du

deuxième degré à coefficients entiers. Si donc on pose

A, E„, D;,, E';t„, Di„ étant des nombres entiers la quantité x\f^ sera égale à la valeur que prendra

quand on aura changé le signe du radical ^Â; en conséquence, on a

les formules (3) subsistent pour w = o et pour n = hy car on a j:A = a: et x'^ = x^; il en est de même â Fégard de la formule (4), pourvu que Ton supprime l'indice o, quand les lettres D, E, D', E' sont affectées de cet indice.

La formule (4) donne

puis E*-+-D;,D'^„=A; mais, comme on aE^-*-D/i|D;j=A, la précédente égalité se réduit à