Mais il y a plus, et nous allons prouver que, si

P Ton exclut la valeur n = i , les fractions pr-^ sont, gé-

néralement, les réduites successives qui répondent aux

70 COUKS D ALGEBRE SUPÉRIEURE.

quolients complets égaux a ^ -~ dans le développement de rirrationnelle =h ^ en fraction

continue.

Pour démontrer la. proposition qui vient d'être énoncée, posons

r' et x' sont relativement à z elx des quotients complets correspondants, et leurs développements fournissent des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses Tune de l'autre; en outre,

x' et , sont les racines d'une même équation à coef-

ficients entiers ; si donc on remplace x' par -, 9 dans la

formule

le second membre se réduira à z, et Ton aura en conséquence

Soient- une réduite de z' répondant à un quotient com-

plet ^ et -^ la réduite qui précède - > on aura

puis

Cela posé, nous supposerons que la réduite tt^» qui ré-

pond au quotient x' dans la fraction continue x, soit

prise dans la première période, et nous allons chercher

combien on doit introduire de quotients incomplets

1 1 / 1 • f^ MM., / 1 •

dans la réduite - pour que — et ^j^ soient deux réduite .

consécutives de z. Il faut d'abord que M*et M' aient le

même signe, ainsi que N et N', ce qui revient à dire que