Un polynôme tel que

Ao 2*" H- Ai z'"-* -f- . . . h- A;„, 3 -4- A;„,

dans lequel chaque terme est le produit d'une constante réelle ou imaginaire par une puissance entière d'une variable réelle ou imaginaire z, est dit une fonction entière de z. Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances de z, le degré m du premier terme est le degré de la fonction. Une équation est dite algébrique lorsqu'elle peut être mise sous la forme ^(3)= Oy J'{z) désignant une fonction entière de z.

Théorème I. — Si une Jonction entière /[z) de z s'annule pour z= o, on peut assigner une quantité po^ sitiy^e r, telle que, pour toutes les valeurs de z dont le

9^ COUBS d'aLGÈBUE SUPtRIEURE.

module est compris entre zéro et r, le module def{z) SQÎt constamment inférieur à une quantité donnée R.

En edet soit la fonction

/ ( 3 ) — Ao z'" -h Al z'^^ H- ... -1- An,-! a

qui s'annule pour z = o, et dans laquelle quelques-uns des coefficients A peuvent être nuls. Désignons par p le module de la variable :: et par a le module de celui des coefficients Aq, A,, . . . , A^j qui a le plus grand module. Comme le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on aura

mod/(5)<fl(p'"-f-p'»-»-t-. . .-4-p) ou <«^-37^ ->

et, si la valeur de p est inférieure à i, on aura à plus forte

raison

ap

mod/(s)<

Donc, pour que le module àef[z) soit inférieur à Ry il suffît que Ton ait

"P <R ou P<^-,

et, en conséquence, si Ton pose

le module i\ef[z) sera inférieur à R pour toutes les valeurs de :: dont le module est compris entre zéro et r.

Corollaire I. — Si /(z) = A^^ z^ -^ A;„»^i z^'-^..,^At z^-^ -f. A^ 5«

est une fonction entière de z ordonnée par rapport aux

SECTION I. CHAPITRE III. pS

puissances croissantes de z, et que l'on pose

on pourra assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre zéro et /', le module de t soit constamment inférieur à une quantité positivée quelconque donnée R.

En efiety la fonction que nous désignons par e a pour valeur

et il suffit de lui appliquer le précédent théorème pour établir la proposition énoncée.

Dans le cas où la fonction y (3) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.

Corollaire II. — Si

f[z) = Ao 3'" -f- Al c'»-* + . . . -h A;„i z-^X^

est une fonction entière de z ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de Zj et que l'on pose

on pourra assigner une quantité positix^e r telle, que pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à r le module de t soit constamment inférieur à une quan* tité positivée quelconque donnée R.

En effet, la fonction désignée par e a ici pour valeur

Ao z Ao s* Ao «'"-* Ao z"'

94 COURS d'algèbre SUPÉRrEURE.

et son module sera inférieur à la quantité donnée R pour

toutes les valeurs de - dont le module est inférieur à une

certaine quantité - qu'on peut déterminer, c'est-à-dire

pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à r.

Dans le cas où la fonctiony(z) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.

Corollaire III. — Le module d' une fonction entière f{z) devaient infini en même temps que le module de z.

Ce corollaire résulte immédiatement du précédent. En effet, la fonction /*(z) étant ordonnée par rapport aui puissances décroissantes de z, soit Âo ^"* son premier terme, et posons

AaZ

on sait que le module de e peut devenir aussi petit que Ton voudra, si le module de z est suffisamment grand. Soient M, p, a, m les modules de/(z), z, Aq, e; Téqua-

tion précédente nous montre que — - est compris entre

I — r, et 1 -f-y;, d'où il suit que, quand p tend vers l'infini, on a

Iim = I.

41. Théorème II. — Une fonction entière f (^z) des est continue.

En général une variable/ (z) qui dépend d'une autre

SECTION I. — CHAPITRE III. gS

variable z est dite continue, si le module de la différence

peut devenir plus petit qu'une quantité quelconque donnée, quand on attribue au module de h une valeur suffisamment petite.

Cela posé y f{z) désignant une fonction entière, ordonnons le polynôme/* (z -h h) — f{s) suivant les puissances croissantes de h; ce polynôme s'annulera pour h = o, et si Ton désigne par Am^^^h^ le premier de ses termes, on aura, par le corollaire I du n" 40,

/{z 4- h) -/(z) = A^,/ii*(i 4- e).

6 étant une quantité dont le module peut devenir aussi petit que Ton voudra. Si donc on attribue à h des valeurs dont les modules décroissent indéfiniment, le module de

la différence

prendra des valeurs qui décroîtront aussi indéfiniment, et en conséquencey(z) est une fonction continue.

CoROLLAiiiB !• — La variable z et la fonction eit" lièref[z) étant supposées réelles y si l'on attribue à z deux valeurs z^j z^^et que les valeurs correspondantes y*(^o)î J'i^t) ^^ f{^) soient de signes contraires, la fonction f[z) s' annulera nécessairement pour une ou plusieurs valeurs de z comprises entre Zq et Z{,

En effet, s'il en était autrement, les valeurs que prend f{z) quand z varie de z^ à z^ seraient comprises, les négatives entre deux limites — A et — B, les positives entre deux autres limites 4- A' et H- B'; par conséquent, z variant d'une manière continue, il faudrait (\\xe f(z) passât brusquement d'une valeur comprise dans le premier intervalle à une valeur comprise dans le second, ce

i)G COURS d'algèbre supérieure.

qui est incompatible avec la propriété que possèdey(z) d'être continue.

Corollaire II. — Quelles que soient la variable

z :=r p ( cosw -f- i sinw )

et la fonction entière

/(3)=:P-+-lQ,

si le module ou l'argument de z reste constant, ou si ces deux quantités varient simultanément d'une manière continue, suix^ant une loi déterminée, aucune des deux quantités P etÇ^ ne pourra changer de signe sans s'annuler,

La démonstration est exactement la même que celle du précédent corollaire. Supposons, en effet, que l'argument co varie de coq à ot)|, et que p soit constant ou qu'il dépende de o), d'après une loi quelconque, de façon à varier d'une manière continue quand w varie lui-même d'une manière continue. Si P ou Q a des valeurs de signes contraires pour o) = Wq et o) = W| et que cette fonction ne s'annule pas, ses valeurs négatives seront comprises dans un certain intervalle, et la même chose aura lieu à regard de ses valeurs positives. La fonction passerait donc brusquement d'une valeur comprise dans le premier de ces intervalles à une valeur comprise dans le second, ce qui est inadmissible.

Dcveloppenwnt de la fonction entière fl^z ^ h) sui\>ant les puissances de h,