fx 1.2. . .fA

Nous représenterons par les coefficients respectifs de

dans le développement dey(z -h A), en sorte que l'on aura

/(.^-.)=/(z)+^/(.) + ilr(.)+...-.^-^/".(.] et

(z) z= 771 AoS'"-* -4- ... -4- fxA;„«^3i*-* -f- . . . -4- A;;,„

(z) — 771 (/72 — l)AoZ'"-* -<-... -f-/x(p — l)A,„-^Z'^-^-i-. . .-h 2A„,-.j,

(z) =771. . .(/7I — fA4-l) AoZ'"""î*-4-...4- fA(fX — l). . . 2 .1 A,„j*, • • •" • •%

* [z] = m[m — ï)...2.iAo.

Chacune des fonctions

/(^). fi^h r[z). ..., /-(3),

à partir de la deuxième, se forme d'après la même loi au moyen de la fonction précédente, savoir, en multipliant chaque terme de celle-ci par l'exposant de z qui y figure, et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité.

La fonction f'{z) est dite la dérwée du premier

S. — Alg, sup,^ 1. q

ordre, ou la première dérwée, ou simplement la dérivée dej'{z), Pareillemcnty''(^), qui est la dérivée de /'^z)^ est dite la dérwée du deuxième ordre, ou la deuxième rfeViVee dey (z), et ainsi desuite jusqu'ày'^(3), qui sera la dérivée du m*^"* ordre ou la m**"® dériv^ée de/^[ z ) . Une fonction entière du degré m a ainsi m dérivées successives dont les degrés sont respectivement m — i, m. — 2, . . ., I, o, en sorte que la m*^*"* dérivée est égale à une simple constante.

D'après ce qui précède, lorsque la variable z reçoit l'accroissement hy la fonctiony(z) prend un accroissement qui peut être mis sous la forme

{.) /(z + A) -/(*) = A/(z)-l-Ae,

en posant, pour abréger,

On a donc

(3) f^l±JLl=M =,y,-,^..

et, comme 6 tend vers zéro en même temps que A, on voit que la dérivée d'une fonction entière ^(z) est la limite vers laquelle tend le rapport

lorsqu'on fait tendre h vers zéro.

En outre, quelle que soit la valeur attribuée à z, on peut assigner une quantité positiver (n°40, corollaire II) telle que, pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à r, le module de la fonction e soit inférieur à une quantité positive donnée n aussi petite que ron voudra.

SECTION I. CHAPITKE III. pg

Principe fondamental de la théorie des équations, 43. Lemme. — «Soif

/ [z] = Ao«'» -4- Aiz'«-* -4- . . . -+- A«-.,z -+- A^

une fonction entière d'une variable z^d'un degré quelconque m, et dans laquelle les coefficients A©, A| , . . . , Am sont des quantités données réelles ou imaginaires. Si le module def[z) ne se réduit pas à zéro quand on attribue à z la valeur déterminée Zo, réelle ou imaginaire, on pourra trouy^er une quantité h j réelle ou imaginaire, telle que le module def{zo-hh) soit inférieur au mO" dule def[zo).

En effet, h désignant une nouvelle variable, remplaçons z par Zo-h A, et faisons, pour abréger l'écriture,

il viendra

/(«o H- A) = Zo-H- Zi^ -4- . . . -+- Z^/i«*4- . . . -4- Z,„ A'«.

Par hypothèse, le module de Zo n'est pas nul ; quelquesuns des coefficients Z|, Z2,... des' puissances de h peuvent être nuls, mais il n'en peut jamais être ainsi du dernier de ces coefficients, c'est-à-dire de Z;„, dont la valeur est évidemment égale au coefficient A© dez'" dans y (z); je représenterai généralement par Z^ le premier des coefficients Z|, Tj2,'..,Tjm dont le module est différent de zéro. D'après cela, la formule précédente, divisée par f{zo) ou Zo, deviendra

yl^oj Zo Zo z

Désignons maintenant par p et o) le module et l'argu-

loo COURS d'algèbre supérieure.

ment de la variable h, par C,* et oCp, quel que soît fx, le

module et Targument de la quantité ^9 on aura

Zo

h z= p(coSb> H- isinu], ^ =:Cf,{cosoLy,-h /sinaji),

Zq

et la précédente formule deviendra

-^)—r^ = 1 -+-C„ p« [cos(/i» -+- OLn) -4- I sin (/î« -4- a„ )]-:-...

-4-C;„p'"[cos(m«-l-a;„)-+- /sin (mw -^a^, )].

Cela posé, déterminons Targument co par la condition d'où

COS ( 7î w -H «rt ) ::^ — I, sin (/IM -+-«„)=: O;

la formule générale qui précède deviendra

C„+i p""^* [cos (/i-j- 1 w-f- a„^, ) + / sin (/i -J- 1 w-h a„^i)] -H... C„,p"^ [cos (ww-J-a,„)-f-isin(/ww H- «,„)].

Soient R et Ro les modules de J*{zQ-h h) et dey(zo),

le module du premier membre de notre égalité sera—;

quant au module du second membre, on sait qu'il est inférieur ou au plus égal à la somme des modules de ses termes. D'ailleurs (i — C«p") sera égal à son module si

Ton donne à p une valeur inférieure à —=z\ on aura donc, dans cette hypothèse,

— = ou<(i-C„p«)H-C;,+ip'*+»4-...-l-C;„p'»,

SECTION I. CHAPITRE III. lOI

La quantité entre parenthèses a pour limite l'unité quand on fait tendre p vers zéro, et nous savons que cette quantité reste positive pour toutes les valeurs de p comprises entre zéro et une certaine limite r que Ton peut assigner. Donc," pour toutes les valeurs de p supérieures à

zéro et inférieures à la plus petite des deux quantités ^-r=

et r, on aura

— <i ou R<Ro,

ce qui démontre la proposition énoncée.

De ce lemme résulte immédiatement la démonstration du principe fondamental de la théorie des équations, lequel consiste dans le théorème suivant :

44. Théorème I. — Si f[z) désigne une fonction entière de z, d'un degré quelconque m, et dans la^ quelle les coejjicients soient des quantités données, réelles ou imaginaires, l'équation f[z) = o a une racine réelle ou imaginaire.

En effet, si Ton donne à la variable z toute la série des valeurs réelles ou imaginaires, il est évident que le module Ac f[z), qui est essentiellement positif, ne pourra pas s'abaisser au-dessous d'un certain minimum. Ce minimum ne peut répondre à une valeur infinie du module de z, car nous savons que le module Ae f[z) devient infini en même temps que celui de z. On voit alors que le minimum du module de y(-z) ne peut être que zéro; car, s'il avait une valeur Ro différente de zéro et répondant à la valeur Zo de z, on pourrait trouver, d'après le lemme qui précède, une quantité h qui donnerait

mod/(zo-i-/«) <C Ro»

ce qui implique contradiction.

loa COURS d'algèbre supérieure.

II existe donc une valeur finie de z telle, que Ton ait mod y(z) = G ; cette valeur est dite une racine deTéquation y(z) = o.

Remarque. — Si l'on remplace la variable z par a: -H ijy X tl y désignant des variables réelles, la fonction y(z) pourra se mettre sous la forme

ç (x, y) et ij/ {pc^j) désignant des fonctions réelles de x^y et de quantités réelles connues.

Le module dey(z) sera la racine carrée de la somme

et il ne pourra s'annuler que si chacune des fonctions o et 4" s'annule. Il s'ensuitque, si a -hi6 est une racine de l'équation y( 2) = o, les deux équations

admettront le système de solutions communes x-soe, j^ = S. Si l'on suppose que x ely représentent des coordonnées rectangulaires, les équations précédentes seront celles de deux courbes ; a et 6 seront les coordonnées d'un point commun à ces courbes. On voit que la recherche des racines de l'équation y*(z) = o équivaut à la recherche des points d'intersection réels des deux courbes dont nous venons de parler, et ces points d'intersection sont alors désignés sous le nom de points racines.

•45. Du théorème fondamental que nous venons d'établir résulte la proposition suivante :

Théorème IL — Une fonction entière de z du degré m est égale au produit de m facteurs linéaires multiplié par le coefficient de la plus haute puissance de z dans la fonction.

SECTION I. CHAPITRE III. lo3

Soit la fonction

/(z)=Ao*'"-+-A|3'«-»-l-...-+-A;„i«-+-A;„,

et désignons par a^, a^y^yUnu '^ quantités réelles ou imaginaires quelconques. Divisons f{z) par z — a^ et représentons par f\{z) le quotient, par Rj le reste de cette division; divisons de mèrae f^[z) par z — a^, et nommons /2{z) le quotient, Rj le reste de cette deuxième division; continuons de la même manière jusqu'à ce que nous ayons employé le diviseur z — a^ qui fournira le quotient y),j(z) et le reste R^. Il est évident que les polynômes f[z)y f\{z)j yi(z),... sont des degrés respectifs m, m — i , m — 2, . . . , et que, dans chacun d'eux, le coefficient du premier terme est A©, d'où il suit que y*;,, (z), qui est du degré zéro, se réduira à Ao- On aura, d'après cela,

/j(3):-l(5 — ^3)/3(3)-hR3, /m - 1 ( S ) = ( 2 — « m ) //n { - ) -+- R m .

Si l'on ajoute toutes ces égalités, après les avoir multipliées respectivement par les m facteurs

3t que l'on remplace yj;i{z) par sa valeur Ao il viendra

f[z) — Ao(2— «i) (2 — flj). ..(3 — «;„) -^-Rm(3— fli). . .(2— a,„-i) +. . .

-f-Rs ;3 — flj (2 — flj) +R, (z — rti) +Ri.

Dans cette formule «1,^2,..., «m désignent des quanités quelconques égales ou inégales entre elles; mais

io4 COURS d'algèbre supérieure.

nous savons que réquatioiiy(z)= o a une racine, et nous pouvons supposer que a^ soit cette racine : on aura alors Rf = o, puisque R| est la valeur que prend f[z) pour z = a|. Pareillement Téquation y, (z) = o a une racine ; nous supposerons que a^ soit cette racine et Ton auraR2= o. En poursuivant ainsi et en supposant qae «3, flji...., cifn soient respectivement racines des équations /2(^) = o, /3(z)== o,..., /;„i(z) = o, on aura R3 = o, R4 = o,.-- Rm=o, et la formule précédente deviendra

On voit que la fonction y(z) ne peut s'annuler que si l'on donne à z Tune des ni valeurs ^i, a^,..., a^. parmi lesquelles il peut s'en trouver plusieurs égales entre elles; il s'ensuit que :

Une équation algébrique du degré m ne peut auoir plus de m racines.

Si, parmi les quantités ai, a^,..., a^ il y en a /x qui soient cf;ales à a^, f{^) admettra le diviseur [z — a^Y et Ton dit alors que Inéquation f(z) = o a ^u racines égales à a^. Au moyen de cette convention, on peut énoncer la proposition suivante :

Une équation algébrique a autant de racines qu'il y a d'unités dans le nombre qui exprimé son degré.

CoROLLAïuE I. — Si ai, a2^"", ^m désignent les m racines de l'équation

AqZ"' 4- A, z"'-^ + . . . + A,„-., z -+- A,„ = o,

la somme des racines est égale à — — î ^ et générale*

Ao

ment la somme des produits n à n des m racines est

SECTION I. — CHAPITRE HT. lo5

égale à ( — 0" r^> en particulier le produit des m ra-

Ao

cines est {^ — ' )'" T^ '

Ao

On obtienl effectivement ces égalités en effectuant le produit Ao(^ — a^)[z — a2)'^.{z — am) qui doit reproduire exactement le premier membre de Téquation proposée, et en écrivant que les coefficients des mêmes puissances de z sont égaux de part et d'autre.

Corollaire II. — Si les coefficients du polynôme f[z)sont réels, et que y parmi les facteurs linéaires de ce pal) nome y ilj en ait n qui soient égaux àz — [p-^ iq)> q étant différent de zéro, il j aura également nfacteurs linéaires de f{z) égaux à z — [p — iq) ; et en conséquence le polynôme f[z) contiendra le facteur réel [(-—/>)- -h 7^]".

En effet, le polynômey(z) étant décomposé en facteurs linéaires, on a

f[z) =:Ao(5— «i) (z— «,). . .(2 — «,„);

si, dans cette identité, on change i en — i le premier membre ne changera pas, puisque ses coefficients sont réels; on aura donc

f[z) — Ao(2 — «,) (3— «J. . .[z — aj,

d^ désignant généralement ce que devient an quand on remplace / par — i. Il résulte de là que, si, parmi les facteurs linéaires àe f[z)y il y en a un ou plusieurs qui soient égaux à z — {P'^^q)t i' y aura précisément un même nombre dç facteurs égaux k z — [p — iq).

Corollaire III. — Si la fonction entière f{z) du degré m s'annule pour dii^erses valeurs de z en nombre

io6 COURS d'algèbre supérieuke.

supérieur à m, les coefficients des diverses puissances de z dansf[z) sont identiquement nuls.

En cfTet, le coefficient de la plus haute puissance de z est nul, puisque autrement la fonctiony(z) ne pourrait s'annuler que pour m valeurs de z, La fonction f[z) se réduit ainsi au degré m — i ; le coefficient de z'^"^ doit être nul pour la même raison, et ainsi de suite.

Limites des modules des racines,

46. Il est facile d'assigner deux limites entre lesquelles soient compris les modules de toutes les racines réelles ou imaginaires d'une équation. Soit

une équation donnée dont le premier membre a pour valeur

f[z)=z Ao3'« + A, z'"-» -I- . . . + A^^iz 4- A;„.

Si l'on pose

z =r p(cosw -i- /sinwj, A„ = «;,(cosa;, 4- /sinai»), puis

P = ûop'"cos{/7/w-f-ao) M-... -+-a„p'*cos(/w — WM-hart) -+-... -f-^^cosa, Qz=aop'"sin (/wft)-hao) -f-...-hrt^p''sin(m — /i«-hart)4-... -ha^sina,

le carré du module R à^ f[z) pourra être mis sous la forme

R*= [Pcos(/ww-}- «o) -h Qsîn(m6) -4-ao)]*

+ [Psin(m w -h a©) — Qcos(/«w -f- a©)]*; si donc on fait V =r F cos(/ww + tto) -4- Qsin(/72w -|- ao)

on aura, pour toutes les valeurs de p et de w,

Désignons paraleplus grand desmodules ai ^ a^, . . . , amj et ajoutons à V la quantité

qui est identiquement nulle, il viendra

«oP'"(p-i-j)+«

-h |[û-hfliCOS (<»-+- ao—ai)]p'"-*+...-|-[fl-f-^i;„cos(mw-f-ao--a;„)]}.

Pour toutes les valeurs de p qui satisfont à Tinégalilé

le polynôme V sera supérieur à zéro, et il en sera de même du module R. Donc la quantité i-\ ou -" est une limite

5wpeWewrc des modules des racînesde l'équation proposée. Pour avoir une limite inférieure des mêmes modules, il suflGt de changer 5 en - dans Téquation pro-

posée, et de chercher une limite supérieure des modules de Téquation transformée. Il est évident qu« si a désigne le plus grand des modules «©> «o • • • > «m^o la quantité

sera une limite inférieure des modules des racines.

Détermination du produit des facteurs linéaires communs à deux polynômes donnés.