Soient

V = Bo2« -+- Biz"-* 4- . . . -f- B;,«i z H-Bn

to8 couBS d'algèbre supérieure.

deux fonctions entières de z, l'une du degré m, l'autre du degré /i, et dont les coefficients sont des quantités quelconques données. Chacune de ces fonctions peut être décomposée en facteurs linéaires, et parmi les facteurs de U il peut s'en trouver quelques-uns qui appartiennent aussi à V. Nous désignerons par D le produit de tous les facteurs linéaires égaux ou inégaux communs à U et à V, et ce produit D sera dit le plus grand commun dwiseur des polynômes U et V. Dans cette recherche, les coefficients Ao et Bq des plus hautes puissances de z, dans U et dans V, ne jouent évidemment aucun rôle, et on peut les réduire à l'unité en divisant les coefficients de U par A© et ceux de V par B©.

Supposons, pour fixer les idées, que m ne soit pas inférieur k n. Si le polynôme V divise U exactement, il sera évidemment le plus grand commun diviseur demandé ; mais supposons qu'il n'en soit pas ainsi ; désignons par Q le quotient et par R le reste de la division.

On aura

U = VQ-+-R;

si les coefficienls Aq et Bo n'ont pas été réduits à l'unité, l'opération que nous venons d'exécuter a pu introduire des coefficients de forme fractionnaire, ce qui n'a aucun inconvénient au point de vue théorique; mais on pourra les éviter si Ton veut, dans les applications, en multipliant U par un facteur constant convenablement choisi, avant de commencer la division. Cela posé, tout polynôme qui divise V exactement divise aussi le produit VQ, et, s'il divise en même temps l'un des polynômes U et R, il divisera aussi le second. Il résulte de là que les polynômes U et V admettent les mêmes diviseurs communs que les polynômes V et R ; donc, en particulier, celui des diviseurs communs à U et V qui a le degré le plus

SECTIOlf I. CHAPITRE III. IO9

élevé coïncide avec celui des diviseurs communs à V et K qui a le plus fort degré; en d'autres termes, le polynôme D que nous cherchons est le plus grand commun diviseur des polynômes V et R.

Nous diviserons donc V par R, et, si la division se fait exactement, R sera le plus grand commun diviseur demandé. S'il n'en est pas ainsi, désignons par R| le reste de la division de V par R; le raisonnement que nous avons fait plus haut nous prouve que le polynôme demandé D sera le plus grand commun diviseur des polynômes R et R^. On peut continuer de la même manière jusqu'à ce que l'on arrive à un reste R^ qui soit indépendant de :;, et cela ne peut manquer d'arriver puisque les degrés des restes successifs R, R| , . . . , Rpi j, R^ forment une suite décroissante. Si ce reste constant R^ est zéro, le polynôme demandé D sera égal à R^-.i; mais si le reste constant R^ n'est pas nul, les polynômes proposés U et V n'auront pas de diviseur commun, et l'on dit alors qu'ils sont premiers entre eux, ou que leur plus grand commun diviseur est l'unité.

De là résulte cette importante proposition :

Théorème I. — Si deux équations U = o, V = o ont {i racines communes égales ou inégales^ on pourra former par de simples divisions algébriques une équation D =.0 de degré (i qui admettra ces (jl racines,

48. On peut tirer de ce qui précède une autre proposition qu'il convient de remarquer, savoir :

Théobème II. — Si U e^ V sont deux fonctions e/itières de z^ sans di\^iseur commun, on pourra troux^er deux autres fonctions entières de z, X et Y, telles que l'on ait

UX — VY = i.

iio COURS d'algèbre supérieuhe.

En effet, si l'on exécute Topération nécessaire pour trouver le plus grand commun diviseur de U et de V, on arrivera à un reste R^ indépendant de z et différent de zéro. On aura alors une suite d'égalités, telles que

U — VQ -+- R, V = RQ, -X. R„

Rji j = RjA- 1 Qj* -f- Rji.

La dernière de ces égalités peut s'écrire

tirons de ravant-dcrnière des égalités (i) la valeur de Rp i pour la substituer dans Tégalité (2), il viendra

(3) Q^R».-3- (i -+- Q^-iQi^) ^.^-1= - R^;

considérons pareillement Tégalité qui précède les deux dernières dans le système (i), tirons-en la valeur de Rj»— î pour la substituer dans l'égalité (3), et continuons la même série d'opérations : il est évident qu'on formera de cette manière une suite d'égalités dans lesquelles le second membre sera alternativement -h R^i et — R^ et dont le premier membre sera la différence de deux fonctions consécutives prises dans la suite

Rj«^3ï Rii— 49 • • • ï Ri » » U

multipliées l'une et l'autre par une fonction entière composée avec les quotients Q, Qi, Q2, .... La dernière de ces égalités sera de la forme

MU — NV = it R^,

et, en désignant par X et Y les quotients de M et N par la constante ± R^,, on aura

UX — VY = i.

Des fonctions entières dans lesquelles plusieurs facteurs

linéaires sont égaux.

49. Théorème I. — Le plus grand commun diviseur entre une fonction entière f[z) et sa déris^ée f i^z) est égal au produit des facteurs linéaires multiples qui figurent dansf[z), élevées chacun à une puissance moindre qu'une unité.

La fonction y (z) étant décomposée en facteurs linéaires, soit

f[z) = [z — a^) (2 — a,).. .(2 — fl,„),

on sait que la dérivée^ (z) est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de la fonction

le quotient ' . > sera donc le coefficient de la première puissance de A, dans le développement de