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/{z-^/i] __ et Ton aura par suite

Si, parmi les racines a^ , Û2, . . . , «m» il y en a m^ égales

, ^ c:OiinS D ALGEBRE SUPERIEURE.

^ ^,, Wi i^{;alcs à «a, . . . y nin égales à a„, il viendra

y ^3; Z «1 3 fl.

ts'^ iiiHiihn's //lo ''^2> • • • y ''<// dont la somme est m étant VK(t(i^ *^^i supérieurs à Tunité. Le second membre de cette ôj^cilllr .se réduit à une fraction dont le dénominateur est

vi dont le numérateur

^[z] rr Wj (r — €ii).,.{z — a„) -4- ///j(i — ai)...[z — tf„)H-...

iTrst pas divisible par Tun des facteurs de(f{z), puisque iDUtes les parties de ^{z) contiennent ce facteur à l'exception d'une seule. L*égalité précédente donne

et, d'après ce que nous venons de dire, elle montre que

est le ]>lus grand commun diviseur des deux polynômes fiz) cl f'[z). Le degré de ce plus grand commun diviseur est ///| 4- ffi2 -f- . . . -f- ftifi — n ou m — n,

50. ïni'onkME IL — Si une fonction entière f[z) a des facteurs linéaires multiples^ on peut obtenir, par (le simples il i\nsions algébriques, le produit des facteurs linéaires qui Jigurent dans f[z) a\fec un même exposant,

D'îîprès ce qui précède, siy(z) et sa dérîvéey'(r) n'ont pas de diviseur commun, le polynômey(2) n'aura

SECTION I. — CHAPITRE III. Il3

que des facteurs linéaires simples. Mais, sif^z) elf'[z) ont un plus grand commun diviseur ^i (z), le polynôme f{z) aura au moins des facteurs doubles, et, dans tous les cas,^! [z) sera le produit des facteurs linéaires de f[z) élevés chacun à une puissance moindre d'une unité. On peut raisonner sur^i (z) comme nous venons de le faire à l'égard àtf[z)\ supposons généralement qu'on trouve un plus grand commun diviseuryi [z) kf^ (z) et à sa dérivée, qu'on en trouve aussi \xnfz[z) kfi (z) et à sa dérivée, etc., que l'on en trouve un enfin f^^^ [z) à y)#-2 (z) et à sa dérivée, et que ce dernier plus grand commun diviseur soit premier avec sa dérivée. On conclura de là que le polynômey(z) a des facteurs linéaires multiples de l'ordre /i, mais qu'il n'en a aucun d'un ordre supérieur à n. En outre, si l'on désigne généralement par Z^ le produit des facteurs linéaires àcf[z) d'ordre /x, pris chacun une fois seulement, il est évident que Ton aura

■ fn—l ( ^ ) ^^ Z„ 7^n—\ »

fn—l ( *) = Z/i ^n- 1 Z^—j,

f\\z] :=::ZÎJ Z;,i . . .ZsZs,

f[z) = Z^Z^.i . . .ZsZtZ|.

Si Ton fait

'Ù^^q^ et /,a^)=Qn,

on aura, en divisant chacune des égalités que nous venons d'obtenir par celle qui la précède et en conservant