Alg. sup
Il4 COL lis n'ALoiluaU bLPÉlilEUlUâ.
la premiùre d'entre elles,
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Enfin, en divisant encore chacune de ces équations par celle qui la précède, il vient
d'où suit que les polynômes Z| , 2é2i'"^T^n s'obtiendront par de simples divisions.
D'après riij potlièse que nous avons faite, il y a certainement des facteurs linéaires de Tordre /i dansy*(r): mais ceux des ordres inférieurs peuvent faire défaut, et, dans ce cas, les valeurs deZ;,|, ou de Z„j, ou etc., doivent se réduire à des constantes.
CoKOLLAiÛK. — La resolution d'une équation qui a des racines égales se ramène à celle d* une ou de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples.
Propriété des dérivées des Jonctions entières*
51. (Considérons d'abord une fonction entière y (s), dans laquelle les cocflicieuts soient des quantités réelles, et supposons que la variable :: reste réelfe. Si l'on donne àcctle variable une valeur particulière Zo pour laquelle la dérivée y (c) ne soit pas nulle, et que Ton pose
/(3,-t-/ri-/,3,\
SECTION I. — CHAPITRE 111. IID
on ppurra (n^40) assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de h comprises entre — r et -K r le premier membre de la formule précédente ail le signe de y (z©). Il s'ensuit que, s\f'[zo) est une quantité positive, la fonction f{z) croîtra constamment quand on fera croîtrez depuis Zq — r jusqu'à zo4-r. Au contraire, si y'(zo) est négative, y(z) décroîtra quand z croîtra de Zq — rà Zq-H/'. De là résulte la proposition suivante :
Théorème I. — La fonction entière f{z) supposée réelle croît avec la variable réelle z, tant que la dérii^ée f[z) reste positii^e, et elle décroît quand on /ait croître z, tant que la dérii^ée f (z) est négatii^e.
Il faut remarquer que, z croissant de — oo à -4-00 , la dérivé y'( 2) peut s'annuler une ou plusieurs fois, mais cette circonstance ne peut être l'occasion d'une difficulté. Supposons, par exemple, quey'(z) s'annule pour z = zo, et prenons une quantité g assez petite pour que Zo soit la seule racine de /'{z) = 0 comprise entre Zq — g et Zo-hg\ désignons en môme temps par h une quantité positive inférieure à g^ et aussi petite d'ailleurs que l'on voudra. Le théorème précédent s'appliquera sans difficulté, quel que soit /i, aux valeurs de z comprises entre Zo — g et Zq — A ou entre Zo -h /i et Zo-hg\ or ces deux intervalles se succèdent à la limite quand on fait /i = o. A l'énoncé qui précède, on peut, si l'on veut, substituer le suivant :
Injonction entière f(z) supposée réelle croît avec la variable réelle z, tant que la dérivée f [z) ncst pas négative, et elle décroit quand on fait croître z, tant que la dérivée f [z) n'est pas positive,
Ô2. Nous allons établir actuellement un tiiéorème ana-
Il6 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
logiie au précédent et qui se rapporte au cas général où les coefficients de la fonctiony(z) sont des quantités quelconques réelles ou imaginaires^ et où la variable reçoit aussi des valeurs quelconques.
Posons
z = p (cos» -4- /sino»),
et soit
ou
f[z)z=z Aop'''(cosmw H- /sin/7i&}) -h . . .-i- A,^,
La dérivée y ( -S ) a pour valeur
d'où Ton conclut
z/'(3) = wAo3'«-f- (/w — i)Ai2'"-*-l-. . .;
d'un autre côté, j\z) est fonction entière de la variable réelle p, et si, en se plaçant à ce point de vue, on iioïnvaQ fi[z) la dérivée Aefi^z), on aura
py, ( z) = fnAop"' ( cos m(ù -h i sio m« ) H- . . . .
La comparaison des deux formules précédentes donne
2/'(î)=p/.( = ), d'où f[z)^^A{z).
D'après cela, la formule
/{z-^/i)-f(z) = hf{z)-^/ig du n^ 12 deviendra
e désignant toujours une quantité qui s'annule en même temps que h.
(^cla posé, supposons que raccroissement A donné à z ne change pus le module de celte variable et qu'il ait seu-
SECTION I. — chapithe m. 117
Icment pour effet d'accroître Targument co de la quantité dy on aura
z-\- h z= p[cos((o -h ^) -+- /sin(6> -+- S)]
=:p(cos« -+- /sinw] (cos^-h /sin^],
d'où l'on tire facilement
- r:i: sina I / — tang - 0 ) ;
la formule (i) devient alors
/(s -H//) -/(2) =psin^ (i - tangi^j [/;(«) ^ ! J
ou
(2) /(z -h /i) -/(z) := psmS[i/,{z) ^ n],
en posant
13 —— tang-^./, (z) -}-(/ — tang-«î J - s.
Le module de - est 2 sin - cî; donc, la valeur de z étant
donnée, oh pourra prendre â assez petit en valeur absolue pour que le module de h soit moindre qu'une quantité donnée quelconque. Dès lors la même chose aura lieu à l'égard de e, et aussi à l'égard des modules des deux parties qui composent la valeur de yj ; donc enfin, si la valeur absolue de d est suffisamment petite, le module de m sera inférieur à une quantité quelconque donnée r. Posons
/{z)=F -h/Q, /(z H- ^) = (p -^ AP) H- / (Q -i- AQ),
>3 = a -h #o, l'équation (a) deviendra
AP H- / AQ - p sind^ ( — Q' -+- /P' ) -f- p sin^ (a -{- /€),
ii8 roï'Rs d'algèbre supéhietjrk.
et elle se décomposera dans les deux suivantes :
AP — (-r Q'-f-a)psin^, AQ^- (-f-P' -i-<5)psin^.
Puisque le module de a -f- Si est inférieur à r tant que la valeur absolue de $ reste au-dessous d'une certaine limite a et 6 seront compris entre — r et -f-r. D'ailleurs r est aussi petit que Ton veut; donc si V et Q' ne se réduisent pas à zéro, les quantités AP et AQ seront respectivement de même signe que — Q'sinJ et -f-P'sin^. De là résulte le théorème suivant :
Théorème H. — Soit f{z) une fonction entière de la variable imaginaire z=ip[ cos w -h i sin o)) ; posons y'(r) = P-l- iQ, P e^ Q étant des fonctions réelles et entières de p qui dépendent aussi de V argument w, et désignons par V , Q' les dériv^ées des polynômes Pef Q prises par rapport au module p. Si l'on attribue à ce module p une valeur déterminée et que l'on fasse croître l'argument w de oàiit, la fonction Q croîtra tant que P' sera positivée et elle décroîtra tant que V seranéga" tive. Au contraire, la fonction P décroîtra tant que Q' sera positivée et elle croîtra tant que Q' sera négative.
Tliéorhme de Cauchy.
