La variable imaginaire

( 1 1 z — .r -{-if

peut être figurée géométriquement (n'^ W) par un point mobile M avant pour abscisse .r, et pour ordonnée y, relativement à deux axes rectangnlaires fixes 0.retO>'. Si p et o) désignent les coordonnées polaires du même point, on aura

J* =rr p cos 0), f r^- p sin M,

SFCTION I. CnAPITT\E TIT. I IQ

Cl, par suite

( :>. ) zz=: p [ cos » -f- / sin w ),

eo sorte que p est le module et « Targumcnt de la variable imaginaire z.

En outre, siy(;î) désigne une fonction entière de ;: d'un degré quelconque m dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles ou imaginaires données, on aura, en remplaçant z par la valeur (i),

P et Q étant des fonctions réelles et entières des coordonnées X ely; d'où il résulte, comme nous Tavons déjà dit, que la recherche des racines de Téquation

équivaut à celle des points pour lesquels on a simultanément

et auxquels nous appliquons, pour abréger, la dénomination de racines.

Enfin, si le polynôme y ( z ) est divisible par la n**'"* puissance de z — Zo, sans Tétre par une puissance supérieure du même binôme, nous sommes convenu (n° A^) de dire que l'équation y (z) = o a n racines égales à ^o; on a, dans ce cas,

/(zo) = o. f(zo)=o /''-»(zo)— o,

mais la dérivée du n**"' ordre, y" (z), ne s'annule pas pour z = Zq.

54. Ces notions rappelées, nous nous proposons d'établir ici une proposition importante due à Cauchy et qui constitue Tun des plus beaux théorèmes de l'Algèbre.

La démonstration que nous allons présenter sera fondée sur le leuinie suivant :

Lemme. — Soient z^zx-^-ij une variable imaginaire etf[z) = P -f- 1 Q une fonction entière de z, rf'a/i degré quelconque m P et (pétant des quantités réelles. Supposons que l'équation f[z)=o ait n racines égales à Xo-t-i/oî ^ poui^ant être égal à i^et considérons le point G dont les coordonnées sont Xo et jr^y relati^fe^ ment à deux axes rectangulaires Ox^ Oy. Décrivions une circonférence du point G comme centre, auec un rayon p suffisamment petit, et désignons par co l'angle formé, avec la direction Oxj par la direction du rayon GM, de manière que cet angle soit nul quand GHi a la direction deOxet qu'il croisse quand le rayon GM se meut toujours dans le même sens , en s' élevant de Ox vers Oy. Cela posé, si le point mobile M, partant d'une position quelconque, décrit la circonférence en^

tière pour revenir à sa position première, c'est-à-dire

si l'angle (ù augmente rfe 2 7r, le rapport -> qui, pour

chaque position du point M, a une valeur déterminée, s'annulera précisément autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre 2/1, et, en s' annulant, ce rapport passera toujours d'une valeur positivée à une valeur négativ^e.

On pourrait ajouter que le rapport - devient infini

un nombre de fois égal à '2n, et qu^à chaque fois il

passe d'une valeur négative à une valeur positive ; mais

nous avons voulu réduire notre lemme à ce qu'il a

d'essentiel pour Tobjet auquel nous le destinons. Il

donnera d'ailleurs le complément dont nous venons de

parler, si on l'applique à la fonction ifi^z). Faisons

encore une remarque importante : pour que le rapport

— ait en chaque point de la circonférence une valeur

déterminée, il suffit que le rayon p ne soit pas égal à la distance du point ^o ^ l'un des autres points racines de l'équation y (z) = o; mais rien ne limite la petitesse de |0, et ce rayon se trouvera assujetti, dans notre démonstration, à être moindre que la plus petite des distances dont nous venons de parler.

Posons

comme on a, par hypothèse,

et (\\xe /'^[zq) n'est pas nulle, la valeur de f{z) ordonnée suivant les puissances de h sera

Si l'on désigne par p et w le module et l'argument de la variable A, on aura

^ =p (cosw -4- /sinw); représentons en outre par C^ et «^ le module et l'argument de la quantité ^ ^ ^ de manière que Ton ait,

pour toutes les valeurs w, /14- i,.... m de a,

.^^:^M.=c,(cos«.H-/sina,),