fx
12^ coms d'alcèbbk sttpékieuke.
l'expression àef[z) deviendra
, , i/(2) == C„p''[cos(/7w -h a„) -h/sin(/i« -|-a„)]H.... \ -4-C;;,.f)'"[cos(m«H-a;„) H- i sin (mw-4- ««]],
et Ton aura, en conséquence
( P — C„p'*cos(/iw -+-a„) -'r-...H-C;„p'«cos(mwH-a«), ( 3 ) <
f Q — C„p"sin (/ïw-ha;,) H- ...-f-C,„p'"sin(m»-j-a„);
on aura aussi, en désignant par Q' la dérivée du polynôme Q par rapport à la variable p,
(4) Q' — /2C„p''-*sin(««-^aJ-f-...-f-mC;„p'"-*sin(m»-j-a„). Cela posé, quel que soit l'angle co, on peut faire
(5) /iw-+-a„-=K h w«,
en désignant parK un entier positifounégatif et parue un angle compris entre — ^ et -h 4 •
Supposons d'abord que le nombre K soit impair, et posons
les formules (3) et (4) deviendront alors
/ ( — l)*PrrT — C^ip" sin/ï« ^...,
\ ("')*Q C^p" COS/î£ H- . . .,
( — rj*Q' — i- wC„p«-»cos«£ ; ....
Soit maintenant 9 un angle positif déterminé, inférieur \\y^ et aussi petit d'ailleurs que Ton voudra; on pourra
(n'*'4()) assigner une quantité positive r telle, que dans chacun des polynômes
±: C„ p" sin nfi -i- C„^j p'»^^ ^. . . . a. C^p»",
8T5CTIOW T. CHAPITUF. ITT> 1^3
le module du premier terme soit supérieur au module de la somme de tous les termes suivants pour toutes les valeurs de p comprises entre o et /•. Nous donnerons à p. une valeur déterminée au-dessous delà limite r, et cette valeur sera le rayon du cercle que nous avons à considérer.
D'après cela, e étant compris entre — -7- et -f- -7- 1 si
cet angle tombe en dehors des limites — 0 et 4- (?, la valeur absolue de sin/icsera supérieure à sin/iô, et, en conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première des formules (6), surpassera le module de la somme des termes suivants; donc P ne peut s'annuler que si e est compris entre — 0 et -+-Ô. Mais, pour les valeurs de e comprises entre — ô et -h 9, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières formules (6), est supérieur au module de la somme des termes qui suivent; par conséquent ( — i)*Q et( — i)*Q' sont positifs. Alors le polynôme ( — i)*P décroît constamment (n°52) quand e croît de — 6 à 4-0; ce polynôme a d'ailleurs le signe -h pour e = — 9, et il a le signe — pour e = 4-ô; donc il s'annule une fois, et seulement une fois, quand e croît de — Ô à -f-ô. On voit aussi que ( — i)* P passe en s'annulant d'une valeur positive à une valeur négative; et, comme ( — i)*Q reste po-
sitif, on peut dire que le rapport — s'annule une fois en
passant du positif au négatif, quand e croît de — 0 à -hO, Si le nombre K est pair et que l'on ait
la première des formules (6) devra être remplacée par la suivante :
( — î )*?=:: •4-C„f)''COS/l« -h . . .;
Tangle 0 défini plus haut est inférieur à 7- ; il en est de
même de la valeur absolue de e; d'où il résulte que coswg est supérieur à sinnOy et, en conséquence, la
fonction P ne s'annule pas quand e varie de — j-
Maintenant, si, en partant d'une valeur quelconque de 0), on veut décrire la circonférence entière, de manière à revenir au point de départ, il sera nécessaire et suffisant de donner à l'entier K /J'i valeurs entières consécutives quelconques o, i, 2, 3,..., (4'> — i) par exemple. A chacune des a /i valeurs impaires de K correspondra une valeur de e comprise entre — 0 et H-ô, pour
P laquelle le rapport - s'annulera en passant du positif
au négatif, ce qui achève la démonstration de la proposition énoncée. Nous aurions pu abréger cette démonstration en prenant 0= 7—; mais le procédé que nous
avons suivi a l'avantage de montrer que les valeurs de
P n(s) -h cr.„, pour lesquelles - s'annule, ont pour limites les
multiples impairs de--» quand on fait décroître indéfiniment Tangle 0,
55. Au nio>en du lemme que nous venons d'établir et en faisant usage de considérations ingénieuses que nous empruntons à une JN'ote de Sturm et Liouville ('), on démontre très-facilement le théorème de Cauchj, qui consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Soient z une variable imaginaire a- -h /}, /{-■) -= P-f- *Q une Jonction entière de cette
Q' ) Journal de Mathématiifues pures et appliquées^ \^^ série, l. I, p. a;8.
ia5
variable, P e^ Q étant des fonctions réelles et entières
des variables xetj. Traçons dans le plan des axes
rectangulaires O x, Oy un contour fermé quelconque
qui ne passe par aucun des points racines de l'équation
p f{z) = o, auquel cas le rapport - aura, en chaque
point du contour, une valeur déterminée. Si l'on suit le contour ABCD en partant d'un point quelconque A et en marcliant toujours dans le même sens ABCD jus^ qu'à ce qu'on soitrev^enu au point de départ, le rapport
- prendra dii^erses valeurs, et il passera par zéro
chaque fois que P sera nul, tandis quil dev^iendra in- Jini lorsque Q s'annulera. Cela posé, soit k le nombre
de fois que le rapport - » en s* éi^anouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, V le nombre de fois que le même rapport, en s' évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif; le nombre k ne sera jamais inférieur à h' et l'excès k — k' = ù sera toujours égal au double 2(x du nombre fi des racines égales ou inégales de l'équation f(^z)=.Oy comprises dans la portion du plan limitée par le contour ABCD.
ur
Le contour fermé ABCD est quelconque, convexe ou non convexe; pour bien fixer le sens dans leffuel ce coulour doit être parcouru, imaj^inoiis un cercle d'uu
cocus d'algèbre supérieure.
rayon aussi petit que Ton voudra, qui touche le contour au point de départ A et qui soit entièrement situé dans Tespace limité par ce contour; en même temps supposons que Ton ait transporté les axes O x et Oy parallèlement à eux-mêmes au centre du cercle. Si l'on parcourt la circonférence du cercle en marchant de Taxe des X vers Taxe des j, lorsqu'on atteindra le point A, la direction du mouvement sur le cercle sera aussi celle du mouvement que nous considérons sur le contour ABCD. Remarquons encore que, d'après l'énoncé du théorème,
on n'a point à considérer les changements de signe que
P peut offrir le rapport - quand il devient inCni; en outre,
il peut arriver que ce rapport s'annule sans changer de signe, mais il ny a pas lieu de se préoccuper de cette circonstance. Ajoutons que, pour abréger le discours, l'excès A sera dit l'excès relatif au contour donné ABCD. La démonstration que nous allons présenter se composera de quatre parties :
1 " Si le thcorcrne énoncé a lieu pour deux contours ABCA et i\DBA (/ui ont une partie commune AS, il a
lieu aussi jHJur le contou/ total ADUGA Jbrme par leur réunion.
biîCTlOJV I. CHAPITRE III. 12^
En effet, soient fx le nombre des racines égales ou inégales comprises dans le contour total ADBCA, et A l'excès relatif à ce contour; soient aussi (ui' et A', |[x"et A" les quantités analogues pour les contours respectifs ABCA et ADBA. On a, par hypothèse
mais la somme A^H- A" se compose évidemment de l'excès A augmenté de la somme des deux excès qui répondent l'un à la partie AB du contour partiel ABCA et l'autre à la partie BA du second contour ABDA; il est évident que ces derniers excès sont égaux et de signes contraires; donc on a
A = A' -f- A"; d'ailleurs
donc
A = 2pi.
Il résulte de là que :
Si le théorème énoncé a lieu pour un nombre quelconque de contours juxtaposés, il a lieu aussi pour le contour formé par leur réunion,
2® Le théorème énoncé a lieu lorsqu'il n'y a aucune racine de l'équation fiz) = o, dans l'espace limité par le contour donné. En d'autres termes, si l'on a |i= o, on a aussi A=z. o.
En eflet, il peut y avoir dans l'intérieur du contour donné comme sur le contour même des points pour lesquels on a soit P=:o, soit Q = o; mais, par hypothèse, il n'en existe aucun pour lequel on ait à la fois P=:. o, Q = o. Il résulte de là que Ton peut toujours décomposer l'espace limité pai* le contour donné en plusieurs
parties telles, que chacune ne renferme dans son intérieur ou sur son contour aucun point pour lequel on ait P = o, ou aucun point pour lequel on ait Q = o. En outre, d'après ce qui précède, le théorème de Cauchy subsistera pour le contour donné, s'il a lieu pour les divers contours partiels dont nous venons de parler ; il suffît donc de considérer ces derniers.
Si, dans rintérieur d'un contour et sur ce contour, on
n'a jamais P =i o, il est évident que l'on a A = o, puisque
P le rapport -ne s'annule pas. Si, au contraire, la fonction P s'annule, mais que l'on n'ait jamais Q = o, la
fonction Q conservera le même signe aux divers points
p du contour et le rapport — ne pourra changer de signe
qu'en s'évanouissant. D'ailleurs, comme ce rapport reprend sa valeur primitive quand on a parcouru le contour entier, il est évident que, s'il s'est annulé k fois en passant du positif au négatif, il s'est annulé pareillement k fois en passant du négatif au positif. On a donc encore A=:= o.
3** Le théorème énoncé a lieu lorsque l'équation f[z) =. o n a qu'une seule racine, d'un degré de multiplicité quelconque 72, d-ans l'espace limité par le contour donné. On a, en conséquence, A= 2/2. '
Soient ABCD le contour donné et G le point racine
SECTION r. CHAPITRE III. I SfQ
du degré n de mulliplicité. Si du point G comme centre, avec un rayon sufllsamment petit, on décrit la circonférence MINR, puis que Ton joigne respectivement les deux points M et N de cette circonférence à deux points P et Q du contour donné, le théorème de Cauchy aura lieu, d'après ce qui précède et d*après le lerame du n'^Sl, pour les trois contours juxtaposés RNQDAPMK, MINKM et IMPBCQNI ; donc il a lieu pour le contour proposé ABCD qui résulte de la réunion des trois précédents. Les deux premiers des contours dont il vient d'être question ont la partie commune NKM, et leur réunion forme le contour NQDAPMIN; celui-ci a, avec le dernier des trois considérés, la partie commune PMINQ , et leur réunion forme le contour ABCD.
^^ Le théorème énoncé a lieu, quelque soil le nombre des points racines compris dans le contour donné.
En effet, on peut décomposer l'espace limité par le contour en plusieurs parties qui ne contiennent chacune qu'un seul point racine ; le théorème aura lieu pour chacun des contours partiels que Ton obtiendra ainsi, et en conséquence il aura également lieu pour le contour proposé qui résulte de leur réunion.
Le théorème de Cauchy est* donc complètement démontré. •
56. 11 faut remarquer que la démonstration précédente ne suppose en aucune façon l'existence du principe d'après lequel toute équation a une racine, et j'ajoute que ce principe n'est qu'un corollaire du théorème de Cauchy , lequel peut être regardé dès lors commeJe fondement de la théorie des équations. Voici, en effet, une démonstration nouvelle du principe du n^ 44, qui est analogue à celle du lemme du n'^ 5i.
S., Alg, sup. -»- 1. 0
î3o COURS d'algèbre supérieure.
Etant donnée \ (^i^dXxow j\z) = o, traçons deux axes rectangulaires et décrivons de leur origine comme centre un cercle dont le rayon p soit aussi grand que Ton voudra. Soit
si l'on désigne par Qa^ et a,» le module et l'argument du coelVicient A;^, et que Ton pose
